SUR LE CENTRE DE GRAVITE DE CERTAINS VOLUMES
Considérons un corps solide homogène quelconque, et supposons que Ton sache déterminer les aires des sections faites dans ce corps par la série des plans parallèles à un plan fixe P, ainsi que les centres de gravité de ces sections. Si Ton rapporte le corps à trois axes, rectangulaires ou obliques, assujettis à la seule condition que le plan des yz soit parallèle au plan P, on saura déterminer en fonction de of Taire S^ d*une section quelconque parallèle au plan des yz, ainsi que les coordonnées y[, s[ du centre de gravité de cette aire. Cela posé, si Ton mène dans le corps une série de sections infiniment voisines, parallèles au plan des yz, et si Ton remplace le volume du corps compris entre deux de ces sections consécutives par le cylindre ajant pour base Tune déciles et dont les génératrices sont parallèles à Taxe des a, le centre de gravité du cylindre qui admet pour base la section menée à la distance a aura pour coordonnées :
son volume aura pour expression :
k désignant le sinus de Tangle de Ox et du plan des yz. Par conséquent, Tapplication du théorème des moments nous donnera, en désignant par V le volume du corps et par â?|, y^, z^ les coordonnées de
son centre de gravité :
Les intégrales triples données dans le texte (p. 44) sont donc remplacées ici par des intégrales simples.
Les deux dernières formules (l) conduisent immédiatement à une conséquence importante :
Si les centres de gravité d'une série de sections parallèles dans un solide homogène sont en ligne droite^ le centre de gravité d» solide se trouve aussi sur cette droite.
Il suffit, en effet, de supposer dans les formules (1) que Ton a pris pour axe des x précisément la droite qui contient les centres de gravité de toutes les sections parallèles. Alors p[ et z[ sont nulles pour toutes les valeurs de x et les valeurs de y^ et de z^ données par nos deux dernières équations se réduisent à zéro.
Considérons, par exemple, le segment déterminé dans un ellipsoïde homogène et plus généralement dans une surface du second degré quelconque par deux plans parallèles. Les sections par les plans parallèles aux deux bases sont des ellipses ayant leurs centres en ligne droite. Par conséquent :
Le centre de gravité de tout segment ellipsoïdal à bases parallèles se trouve sur la ligne Qui joint les centres des deux bases elliptiques.
Je vais maintenant appliquer les deux premières formules (1) au cas où l'expression de Sx revêt la forme simple :
S^ = a -{- bx + cx^y
et, pour plus de simplicité, je supposerai que les axes soient rectan-
gulaires, ce qui donnera ^ n=: 1 ; je vais déterminer le centre de gravité du segment, do hauteur A, compris entre les plans :
NOTE III. 3cS5
On aura alors :
(2) V = / (« + *J? -f- cx^) dx=.ah + -^ -\- --- »
et
(3) V j-ç =1 (a H- Jjp + cx^) 0? (fj? ==-—-+---- 4-
aA' ÔA* cA'
(4) S« = fl, s, = a + *A + cA', a = a -*- — + -
Oa peut de ces équations tirer a, h, c, ce qui donne aux équations (2) et (3) la forme élégante :
(5) ■ V = g(S„+S. + 4cr),
(6) Vx.=^(S. + 2î).
Si nous désignons par x^ la distance A — ^^ du centre de gravité à la base S, du segment considéré, on aura par raison de symétrie :
et par conséquent :
Arrêtons-nous d'abord à la formule (5). Elle nous donne un théorème extrêmement connu, mais très utile.
Si faire de la section/alte dans un corps pat un plan parallèle à un plan fixe est une /onction du second degré de la distance de ce plan à une de ses positions, le volume du segment compris entre deux positions quelconques du
Despky ROï'S . — Mécnniq ne. 25
x^ désignant la distance du centre de gravité du segment au plan des yz ou à Tune des bases du segment.
Au lieu de garder dans les formules les coefficients a, d^ c qui n'ont aucune signification, nous allons introduire les aires des deux bases S^, ?\
Sp et Taire de la section moyenne 7,' correspondante à la valeur ^ (
de 0?. On a alors : !
plan sera exprimé en fonction de la hauteur du segment et des aires des trois sections d^à déjlnies^ par la formule (5),
Ce théorème subsiste dans le cas où la fonction Sx est du troisième degré par rapport k x ; cette remarque trouvera plus loin son application.
On connaît un grand nombre de solides pour lesquels la fonction S^ est du second degré. Nous pouvons d^abord citer tous les solides de la géométrie élémentaire, v le tronc de cône, le segment sphérique, etc. Dans le cas du tronc de cône, les aires des sections sont proportionnelles au carré de la distance de leur plan au sommet du cône. On aura donc :
et par conséquent, l'application des formules (5) et (7) donne ici :
[ V = ^ (s. + s. + i/tàjX
^^^ ) jq 3s. + s, + 2 ks;;s;
\ *. 3So + s, + 2 |/S^
Pour le segment sphérique à deux bases, si Ton prend pour rorigine des coordonnées le centre de la sphère, ou aura :
^-r-'-hin
ce qui donne la relation :
et par conséquent on peut mettre le volume du segment sous Pune ou l'autre des deux formes :
Les formules (1) sont encore applicables à toutes les surfaces du second degré, comme on le reconnaîtra aisément par un calcul direct. Mais on peut rattacher cette propriété des surfaces du second degré à une proposition plus générale en montrant que dans Coule sur/ace réglée, les aires des sections par des plans parallèles sont exprimées par un polynôme du second degré {}),
Soient en effet :
y =1 ax -h p^
zz=: bx -^ q, ^ .
les équations qui définissent une surface réglée et où a, à, p^ q sont des fonctions données d^un paramètre a. Uaire de la section par un plan parallèle au plan des yz sera donnée par la formule :
(0) S, = yj{ydz^zdy\
où Tintcgrale est étendue à tout le contour de la secticn. En rcmpla- . çant y, z par leurs valeurs on a :
2Sa: = d?* I {adb — h da) + x \ (p db — b dp -^ a dq — q da)
{pdq — q dp),
et ainsi se trouve démontrée la proposition que nous avions en vue.
Nous pouvons ici appliquer les deux, dernières formules (1) et obtenir un résultat élégant. En effet, considérons la section par le plan parallèle au plan des yz^ son aire est déjà donnée par la formule (9). Quant à son centre de gravité, on peut le déterminer comme il suit :
Si Ton envisage la section con^e composée des triangles élémentaires dont Taire a pour expression :
^{ydz — z dy\
2 fi les centres de gravité de ces triangles auront pour coordonnées / >
-— - et par conséquent on aura^ en appliquant le théorème des (1) Vuir J. BERTRAifD, Traiiéde Calcul întégral^ ]i. 4(1, 412.
moments :
y.' ^x =^ 1 y (y dz — z dy\
zlS^zzi- j z{ydz — z dy).
Les intégrations donnent pour y[ S^, z[ S, des expressions du troisième degré en x^ de la forme :
. « . 9 (d?) = A + Ba: -4- C^* + Do?*.
On obtient donc déjà ce premier théorème : Le lieu dc9 centres de gravité des sections parallèles faites dans une sur/ace du second degré est en général une cubique gauche, *
D^autre part, appuyons-nous sur la proposition déjà signalée plus haut et d*après laquelle on a :
J%{x) dx = \^, (0) + ç (A) H- 4ç QJ
toutes les fois que g {x) est un polynôme du troisième degré au plus en X- La troisième formule (1) nous donnera :
(10) Vy. = ^[S.y;+S.y;+45y:],
^•' y\i y\ étant les ^ des centres de gravité des aires S^, S,, ?. On aurait de même la formule analogue :
En rapprochant ces deux formules 4e Péquation (6), on obtient le résultat suivant :
Pour construire le centre de gravité du segment à deux bases, compris entre deux sections parallèles d^vne surface réglée, on placera aux centres de gravité de ces deux baseSy des masses égales respectivement aux aires de ces deux bases et, au centre de gravité de la section menée à égale distance des deux bases, une masse égale à quatre /ois l'aire de celle section. Le centre de gravité des trois masses ainsi définies sera le centre de gravité du segment»
