SUR LE SYSTÈME DE QUATRE FORCES EN ÉQUILIBRE

Il a été montré à Tarticle 107 que lorsque quatre forces se font équilibre, les lignes d^action de ces forces constituent quatre génératrices d^un même système, d^une surface réglée du second ordre. Je me propose d'établir ici la réciproque et de prouver que lorsque quatre droites appartiennent à une surface du second ordre, elles peuvent être prises pour lignes d^action de quatre forces se faisant équilibre.

Supposons d'abord que ces quatre droites appartiennent à un h jperboloïde ; si on leur mène des parallèles par un point quelconque de l'espace, trois quelconques de ces parallèles formeront un trièdre. Il sera donc possible de déterminer les grandeurs de quatre forces dirigées suivant ces parallèles et se faisant mutuellement équilibre. Pour cela, il suffira de construire le parallélipipède admettant pour arêtes trois de ces droites et pour diagonale la quatrième. Les quatre forces représentées par les trois arêtes et par une droite égale et opposée à la diagonale se feront évidemment équilîbre. Remarquons que les rapports mutuels de ces forces sont seuls déterminés et que Ton ne détruirait' pas Téquilibre, si on les multipliait toutes par un même nombre.

Transportons maintenant ces forces respectivement sur les quatre droites données qui leur sont parallèles. On aura ainsi constitué un système de quatre forces, admettant pour lignes d'action les droites données et dont la résultante générale sera évidemment nulle. Par conséquent, si l'on fait la réduction des forces en un point quelconque de l'espace suivant la méthode de Poinsot, le couple obtenu sera toujours le même, quel que soit le point où l'on fera la réduction. Je vais démontrer que ce couple est nécessairement nul. Soit en effet d une des génératrices de l'hyperboloîde rencontrant les quatre droites données. Si Ton fait la réduction en transportant les forces en un point de (f, les couples qui

naissent de la translation de ces forces ont tous leur axe perpendiculaire à d. Donc Taxe du couple résultant sera nul ou perpendiculaire à d. On voit donc que cet axe doit être nul; car il ne saurait être perpendiculaire à toutes les génératrices d'un même système de rhyperboloïde, qui ne sont pas parallèles à un même plan.

Supposons maintenant que les quatre droites appartiennent à un paraboloïde et soient parallèles, par conséquent, k un même plan. En répétant le raisonnement précédent, on verra facilement que Ton peut placer sur les trois premières droites 1, 2^ 3 un premier système de trois forces dont les rapports mutuels seuls seront déterminés et dont la résultante générale sera nulle. Gn verra comme précédemment que le couple auquel peuvent se réduire ces trois forces a son axe perpendiculaire à toutes les génératrices du second système du paraboloïde. On peut de même placer sur les deux premières droites 1, 2 et la quatrième 4 un second système de trois forces se réduisant à un couple dont Taxe sera aussi perpendiculaire aux génératrices du second système, et par conséquent parallèle à l'axe du premier couple. Soient a et b les valeurs respectives de ces deux axes ; si Ton place sur les quatre droites un double système formé des trois premières forces multipliées par X et des trois dernières multipliées par [x, il y aura deux forces ayant pour lignes d'action chacune des droites I, 2. En les composant respectivement, il restera un système de quatre forces dirigées suivant les droites i, 2, 3, 4, dont la résultante générale sera nulle et qui se réduiront à un couple dont Taxe aura évidemment pour

grandeur Xa + tx^. On pourra donc toujours disposer du rapport - de

telle manière que cet axe soit nul, et alors les quatre forces se feront

équilibre.

En appliquant la même méthode, on établira le théorème suivant : Pour que cinq droites puissent être les lignes d* action de cinq f!>rces se

faisant équilibre^ il faut et il suffit que les deux droites qui rencontrent les

quatre premières rencontrent aussi la cinquième.

Mais rétude détaillée de cette proposition nous entraînerait trop

loin. Nous nous contenterons de signaler ici tout le parti que Ton peut

tirer de la belle théorie des complexes de Plûcker dans Tétnde de la

réduction des forces appliquées à un corps solide.