SUR L'ÉQUILIBRE ASTATIQUE
Parmi les systèmes de forces agissant sur un corps solide, les plus importants peut-être sont ceux qui sont composés uniquement de forces parallèles. Leur étude a conduit à la notion du centre des forces parallèles, point d^application d^une force unique ayant même direction que les forces considérées, égale à leur somme algébrique et pouvant toujours les remplacer lorsque le corps change de situation dans Tespace. »
Il était naturel de chercher à étendre aux systèmes composés de forces quelconques les propriétés du centre des forces parallèles, c^est à dire d^examiner comment varie TefPet d^un système quelconque de forces appliquées en des points déterminés du corps solide ; soit lorsque, leur grandeur et leur direction demeurant les mêmes, Porientation du corps vient à changer; soit, ce qui est la même chose, lorsque, le corps demeurant en repos, les forces changent de direction de manière à conserver entre elles les mêmes angles. Minding, dans le tome XV du JourTuil de Crelle, a donné sur ce sujet un théorème des plus intéressants et il a établi que, toutes les fois que le corps est amené dans une situation ou le système des forces a une résultante unique, cette résultante rencontre deux courbes ayant une position fixe dans le corps, qui sont une ellipse et une hyperbole, focales Tune de Tautre.
Dans un petit ouvrage (^) j^ai étudié les différentes questions que Ton peut se proposer dans cet ordre de recherches. Je me contenterai ici de donner les conditions nécessaires et suffisantes pour que les forces se fassent équilibre dans toutes les positions du corps; on dit alors que le corps est en équilibre asiatique,
(<) G. Darboux, Jfémo/re sur tf^Uiàre asiatique, Paris, Gaulbier-VillarSf 1S77.
3î)2 COURS DE MÉCANIQUE.
Au point de vue de cette théorie il est indifférent» nous venons de le voir, soit de supposer que le corps se déplace, les forces conservant leur point d^application, leur grandeur et leur direction ; soit d^admcttre que le corps demeure en repos, les forces changeant de direction de manière à conserver entre elles les mêmes angles. C^est cette dernière supposition que nous choisirons de préférence. Si Ton veut admettre que le corps se meut, il suffira de supposer que nos axes, mobiles dans Tespace, soient fixes par rapport au corps.
Supposons le corps soumis à Taction de n forces. Nous définirons ces forces par leurs composantes X,-, Y,-, Z/ parallèles aux axes et par les coordonnées Xi, ^.-, Zi de leurs points d^application et nous adopterons les notations suivantes :
Xx = ^ X/a?£, Yjc = ^ Y,r,-, Zjc = \ Z,a?i,
Xa = ^ Xf, Yo = ^ Y/, Zo = ^ Z;.
Cela posé, considérons un système actuellement en équilibre. On aura les six équations :
j X,=:0, Yo = 0, Zo = 0,
^^ (Y, — Z,= 0, Zx~X, = 0, X, — Yx=:0.
Supposons led axes rectangulaires et cherchons la condition pour que réquilibre subsiste si Ton imprime au corps une rotation finie autour de 0^. Gomme nous supposons les axes entraînés avec le corps, les coordonnées des points d'application ne changeront pas; mais le.s composantes des forces parallèles à Ox et k Oy ne seront plus les mêmes. Il faudra remplacer :
Xi par Xi cos 9 + Y,- sin ç,
Yf par — Xf sin 9 4- Y» cos 9,
9 désignant Tangle dont le corps a tourné. Les équations de réquilibre
dans la nouvelle position seront par conséquent :
X^ cos ç -4- Yo sin 9 = 0, — X, sin 9 + Y, cos ç — Z^ = 0, — Xo sin 9 + Yo cos ç = 0, Z^ — X, cos ç — Y, sin ç = 0,
Zo = 0, (X,, — Y:,) cos 9 -f- (Xx 4- Y J sin 9=0.
Si Ton tient compte des équations (1), les trois premières sont satisfaites, et les autres, après quelques transformations simples, prennent la forme :
(2) X, (1 — cos ç) = 0, Y,*(l — cos 9) = 0, (X, + Y,,) sin 9 = 0.
et pour qu*el]es soient vérifiées pour toutes les valeurs de 9, il faudra ajouter aux équations (1) les trois suivantes :
qui sont à la fois nécessaires et suffisantes.
En imprimant de m^me au corps des rotations autour des deux autres axes coordonnés, on obtiendra les conditions nouvelles :
(4) Z,= 0, Y. = 0. Y,-hZ,=:0,
(5) Xy= 0, Zy =0, X„ + Zy = 0.
On a donc en résumé les douze équations de condition :
iX^ = 0, X, = 0, X, = 0, X, = 0, Yo = 0, Y, = 0, Y, = 0, Y.=:0, Z, =n 0, Z, = 0, Z, =: 0, Z, = 0,
qui sont nécessaires pour Téquilibre astatique.
Il est d^ailleurs très aisé de montrer que ces douze conditions sont suffisantes. En effet, il résulte de la théorie développée p. 38 et 39 que les quatre équations
XoX=0, Xx = 0, X^mO, X, =
représentent les conditions nécessaires et suffisantes pour que les forces parallèles X^ appliquées aux points (a?/, y., ci) se fassent équilibre, çuelle gue soit leur direction.
Les équations (6) expriment donc que les trois systèmes de forces parallèles, formés par les composantes parallèles aux trois axes des forces données, considérés isolément, se font équilibre, et se feront encore équilibre quand la position du corps sera changée. On voit donc bien que Téquilibre existera pour toutes les orientations du corps.
Le raisonnement précédent montre d*ai Heurs que les équations (6) conserveront encore la même forme lorsqu^on emploiera des axes obliques.
