SUR LES LIGNES 6Ë0DÊSIQUES DE L'ELLIPSOÏDE

Dans rétude de l'équilibre d^iin fil flexible, il a été démontré que lorsqu'un fil est tendu sur une surface, la tension est constante et la figure du fil est celle d^une ligne géodésique de la surface. Nous allons considérer le cas où la surface est un ellipsoïde que nous supposerons rapporté à son centre et à ses axes.

Soit:

réquation de la surface. Les composantes de la force appliquée à un élément du fil seront :

tË ff £

X étant une quantité inconnue. En appliquant donc les formules (l) de la page 133, nous aurons :

(dz\ z

T -- ) + X -ï <?* = 0, di) c'

pour les équations différentielles de Téquilibre du fil. Tenons compte de ce que T est constant et prenons $ comme variable indépendante; posons pour abréger :

d*tf y

di*~'^ V?'

rf*'-'%''

ds*-^?

les équations (I) prendront la forme :

Telles sont les équations différentielles du second ordre qui caractérisent la ligne géodésique. On peut obtenir, comme il suit, Tintégrale première.

Ajoutons les équations, après les avoir multipliées respectivement

X ' y z P*r -,» ;:r» -ii nous aurons :

Mais en différentiant doux fois Téquation de Mlipsoïde, on obtient ridentité :

X d^x y d^y z d*z dx* dy* dt^

â^d?'^'b^'d^'^?'d?'^~ tf*^* "" Vd? "" ?J?'

et par conséquent l'équation (3) peut s'écrire :

Ajoutons maintenant les équations (2) après les avoir multipliées

dx dy dz respectivement par -i-> — » -r-» Nous aurons :

ar b^ r

dx â^x dy â}y dz

z à^z ( dx dy dz\

Divisant membre à membre les équations (4) et (5), nous obtenons la relation :

dx éPx dy rf'y dz d'^z dx dy dz

^ ^ dx^ dy^ dz* x* y* z*

ÔW "^ ¥d? "*" ?rf? â^ '^T^'^7

dont les deux membres sont des différentielles exactes et dont rintégration n'offre par conséquent aucune difficulté.

^'OTE Yi. 397

On trouve ainsi pour Téquation différentielle du premier ordre des lignes géodésiques :

E désignant une constante arbitraire.

Joachimsthal'a donné de cette équation une interprétation géométrique élégante. La distance P du centre de Tellipsoîde au plan tangent au point {x, y, z) a pour expression :

Le diamètre D, parallèle à la tangente à la ligne géodésique, a pour

grandeur :

dx^ dy^ dz^