L. JL — I

et, par conséquent, Téquation (7) se traduit parla relation géométrique : (8) PD = constante;

c*est le résultat de Joachimsthal.

Mais il est intéressant d^observer que Téquation (8) ou.Péquation équivalente (7) n^est nullement caractéristique des lignes géodésiques et qu^elle a lieu également pour les lignes de courbure de Pellipsoïde.

Pour le démontrer, nous allons considérer une courbe satisfaisant à l'équation différentielle (1) et nous allons chercher si cette équation entraîne le système (I) qui seul caractérise les lignes géodésiques.

L^élimination de K nous donnera Téquation (6) que Ton peut évidemment remplacer par les équations (4) et (5), en introduisant la nouvelle inconnue [x. L'équation (4), en vertu de l'équation de rellipsoîde, est équivalente à l'équation (3) ; en sorte que le système des équations (3) et (5) est absolument équivalent à l'équation (7).

Ajoutons-lui réquation évidente :

, . dxd^x dy.d^y dzd^z

Les trois équations (3), (5), (9) considérées comme devant donnef

, . ^'^ d^y éPz , ., , ^,

les inconnues -—r-j ---r > — -; sont évidemment vérifiées par les valeurs

.tfr rfr ds*

de ces incotinues tirées du sytème (l). Elles seront donc équivalentes

aux équations (I) tant que leur déterminant

do!

dv

di

dXy dy^ dzy j

ne sera pas nul. Mais si èe déterminant est nul, les équations (1) ne pourront plus être considérées comme une conséquence du système (t3), (5), (9) ou, ce qui est la même chose, de Téquation (7).

On reconnaît aisément que Téquation différentielle obtenue en égalant le déterminant à zéro est celle des lignes de courbure ; pour chaque valeur de la constante K, Téquation (7) admet comme solution particulière une ligne de courbure qui peut être considérée comme Tenveloppe de toutes les lignes géodésiques satisfaisant à cette équation. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

V équation (7) ou, son éqiâvaUnU (8) exprime une propriété commune aux lignes de courbure et aux lignes géodésiques.

Une fois obtenue Péquation difiTérentîelle du premier ordre des lignes géodésiques, on trouve facilement Téquation en termes finis de ces lignes. Il suffit de faire un changement de variables et de rapporter Tellipsoïde au système de coordonnées curvilignes formé parles lignes de courbure. Ce choix de variable est naturellement indiqué, car il a pour effet d'éliminer immédiatement les solutions étrangères de réquation (7), données par les deux systèmes de lignes de courbure. L*équation différentielle se ramène alors à une forme dans laquelle les variables sont séparées et qui s^ntègre immédiatement. Mais nous voulions seulement indiquer ici la méthode précédente, qui conduit rapidement à l'intégrale première et que nous avons introduite depuis longtemps dans notre enseignement.

PROBLEME DE MÊCANIQÏÏE.

Trouver lajtçtêre d'équilibre d'un JU flexible et inextensible non pesant, traversé par un courant et soumis à Vinfluenee du pôle d'un aimant.

Kapportons le fll à trois axes rectangulaires, ayant leur origine au pôle d'un aimant. Les composantes de Taction de ce pôle sur un élément ds du fil seront :

[K{ydz — zdy) ^{zdx — xdz) ^{(ody — fdx) r' • r* r*

r désignant la distance de cet élément à Torigine et pi une constante; par conséquent, les équations d'équilibre du fil seront, en désignant par T la tension :

(dy\ zdx — xdz

Ce sont ces équations qu'il s'agit d^intégrer.

En les multipliant par dx^ dy^ dz et les ajoutant, on obtient :

(2) rfT=0;

donc la tension est constante. Ce résultat était évident àpfHeri^ puisque la force appliquée à chaque élément est normale à cet élément*

Ajoutons maintenant les équations (1) après les avoir multipliées par X, y, z respectivement. Nous trouverons, en tenant compte do réquation (2),

(3) T fdJrf ^ + y<f ^ H- ccî ~\ = 0.

\ ds ds dsj

Cette équation exprime que la normale principale en un point de la courbe d'équilibre est perpendiculaire au rayon vecteur de ce point, c'est à dire que la figure d*éç»illbre esl une ligne gcodésiçne du cône ayant son sommet à Vorigine et contenant cette courbe.

Comme la précédente, cette proposition pouvait se prévoir à priarL L'action sur l'élément du fil est normale au cône passant par le fil et ajant son sommet à l'origine; or on sait que le plan osculateur de la figure d'équilibre doit contenir cette force : il est donc normal au cône précédent.

On peut du reste trouver trois intégrales premières des équations (1). Ajoutons, par exemple, la deuxième et la troisième de ces équations, après les avoir multipliées par — Cj y respectivement. Nous aurons :

ou, en intégrant :

V ds ds) r

a désignant une constante.

On aura, par des combinaisons analogues, deux autres intégrales premières qui, jointes à la précédente, constituent le système suivant :

^ ( dz dy\ X

) / dx dz\ y

I ^ / dy dx\ z

Multiplions ces équations par a?, y, z respectivement et ajoutons-les. Nous aurons :

(5) |i.r H- aa? 4- ^y + Y^ = ^'

C*est réquation d^une surface qui contient le fil en équilibre. Or cette surface est évidemment un cône de révolution, ayant son sommet à Torigine et d'ailleurs quelconque. On a donc le théorème suivant :

Si un fil JUxibU et inextensible non pesant, traversé par un courant, est soumis à V action du pôle tTun aimant^ sa figure (féguUibre sera une ligne géodésique dun cône de révolution, ayant son sommet au pâle de l'aimant.

Il ne nous reste, pour terminer, qu'à indiquer comment, étant données les positions des deux extrémités du fil et sa longueur totale, on déterminera lé cône sur lequel il doit se trouver.

Soient A et B les deux extrémités du fil et / la longueur de ce fil ; la question revient à construire un cône de révolution connaissant deux de ses génératrices OA, OB et la longueur /de la ligne géodésique qui réunit les deux points A et B.

Voici comment on peut résoudre ce problème. Je suppose le cône inconnu développé sur un quelconque de ses plans tangents. OA sera venu en a, OB en Od et la figure d'équilibre se sera transformée dans la droite ab. On connaît donc les trois côtés du triangle Oa^ et, par conséquent, l'angle aOb. Ce point étant acquis, on est ramené au problème suivant :

Mire passer par deux droites OA, OB un cône de révolution tel que, après le développement de ce cône sur un plan, V angle des droites kOB se trans/bmie en un angle de grandeur donnée.

Soient a, ^ les points des droites OA, OB a une distance 1 de l'origine. La sphère de rayon 1 ayant son centre au point coupera le cône suivant un cercle. On connaît, à la fois, l'arc a ^ et la corde a ^ de ce cercle. En effet, l'arc a ^ se transforme, dans le développement du cône, en un arc de cercle et mesure l'angle que nous avons appelé aOb. La question est donc ramenée à construire un cercle connaissant la longueur d'un de ses arcs et de la corde de cet arc, problème qui conduit à une équation transcendante bien connue.

Despevrous. — Mécanique, 26