SUR LE MOUVEMENT D'UNE FIGURE INVARIABLE

Considérons une figure plane, mobile dans son plan, et rapportons-la à deux axes rectangulaires Oi?, 0^ liés invariablement avec elle. Soient au contraire O'â?^, 0'^^ deux axes rectangulaires fixes. Un point M de la figure mobile aura, par rapport aux axes Oj?, Oy des coordonnées constantes que je désignerai par les lettres â?, y et il aura par rapport aux axes 0'â?j, OVi des coordonnées variables que je désignerai par â7p y^. On aura entre x, y, x^^ y^ deux relations de la forme :

«I = (iP — a) cos (I) — {y — P) sin d), ^ 2^1 = (^ — a) sin (â) -^ (y — g) cos w,

a, 3) <*> étant des fonctions d^une même variable; a et ^ sont les coordonnées de Porigine 0' des axes fixes par rapport aux axes mobiles. On peut considérer, si Ton veut, a, ^ conmie des fonctions de (1) dont la connaissance détermine complètement le mouvement de la figure mobile dans son plan.

Les plus intéressants des mouvemements que Ton a à considérer jouissent dVne propriété remarquable; ils sont périodiques ou fermés, c^est à dire que la figure mobile, après avoir parcouru toutes les positions qu^elle peut prendre, revient à sa position initiale et ne peut continuer à se mouvoir qu^en repassant par toutes les positions qu^elIe a occupées. Considérons, par exemple, une figure mobile dont deux points sont assujettis à décrire deux droites. Un point quelconque de cette figure décrira une ellipse, et quand il aura parcouru cette ellipse pour revenir à sa position initiale, il en sera de mciue de la figure

entière qui sera ramenée à sa position primitive et ne pourra que recommencer le mouvement qu^elle vient d^accomplir.

Il est clair que, dans les mouvements fermés, la variable co qui représente Tangle des axes O^, O^x^ reviendra, quand le mouvement sera accompli, soit à jut valeur initiale, soit à cette valeur augmentée d'un multiple quelconque de 2%, Considérons, par exemple, la figure mobile formée par la tangente et la normale en un point d'une ellipse. Lorsque le point, après avoir fait le tour de Tellipse, reviendra à sa position initiale, la figure aura évidemment tourné de 2?:. Si Ton substitue au contraire une lemniscate à Pellipse, la rotation totale de cette figure sera nulle; si Ton fait rouler une ellipse sur une ellipse égale, la rotatioi>de la figure mobile sera 4?;.

Il est clair que, dans tous les mouvements périodiques ou fermés, les trajectoires de tous les points de la figure mobile sont des courbes fermées.

Ces remarques préliminaires étant faites, considérons deux positions distinctes P^, P, de la figure mobile, caractérisées par les valeurs (Og, (Oj de la variable ii>. Nous allons déterminer Paire comprise entre l'arc M^M^ décrit par un point M de la figure mobile dans le passage de la première position à la seconde et les deux rayons vecteurs O'M^, O'Mj qui joignent le point O' aux deux extrémités de Tare M^^Mi. Cette aire ^ sera donnée par la formule :

d^i, y, désignant les coordonnées du point décrivant par rapport aux axes fixes. Or, si Ton pose :

diù

on aura :

dx^ = — {x — 5) sin 0) élcD — (y — r) cos u) diù^ dy^ = (ar — S) cos iù dtù — (y — rj sin o) tf w,

et ces formules montrent que Ç^ iq sont les coordonnées du centre

404 COURS DE MÉGANIQUE.

instantané de rotation par rapport aux axes mobiles. On en déduis :

^1 ^Ifx — Vi ^^1 = (J? — a) (a? — Ç) rfw + (y — P) (y — r<) rfw, ce qui donne :

(4) 22l = (a?' + y*) ("^'diù — x p'(a + ?)^o) — y P'(?H- >î) ^t* b)o et a>j étant les valeurs initiale et finale de o). Posons :

llh) zz: Wj — (Oq = 6,

6 sera l'angle dont la figure mobile aura tourné dans le passage de la première position a la seconde et Ton aura :

(6) 21 = ^ {x^ + y-) — A^ — By H- C;

A, B, C sont des intégrales qu'il sera plus ou moins difficile de calculer, mais qui sont absolument indépendantes de x et de y. La formule précédente exprime donc le théorème suivant :

Quand une figure plane qui se meut dans son plan passe d'une position P^ à une autre position P^, l'aire qu'a décrite, dans le passage de la première position à la seconde, le rayon vecteur qui joint un point quelconque M de cette figure à un point fixe, est égale à la moitié "de l'angle dont ceUe figure a tourné^ multipliée par la puissance du point M par rapport à un cercle déterminé de la figure mobile.

Il y a plusieurs remarques à présenter sur ce théorème.

D'abord il peut se faire que les trajectoires des points de la fig^ure mobile aient une forme compliquée, qu'elles se coupent elles-mêmes en

un ou plusieurs points et Ton peut se demander quelle sera alors la signification géométrique de Tintégrale :

^ = ^ J (J'i ày^ — y, dx^.

que nous avons calculée. Voici la règle que Ton doit à Gauss et qui permet de répondre à cette question.

Considérons en premier lieu une courbe fermée, par exemple celle qui est représentée dans la figure 168 et supposons que Tintégrale soit prise, la courbe étant parcourue dans le sens de la flèche ; alors on connaît le sens dans lequel doit être parcouru chacun des traits de la courbe qui séparent les différentes régions dans lesquelles le plan est divisé. On déterminera des coefficients numériques pour chacune de ces régions de la manière suivante. On adoptera le coefficient pour Taire extérieure et Ton conviendra que, pour deux régions quelconques

Fig.168

séparées par l'un des traits de la courbe, la différence des coefficients sera l'unité, le plus grand coefficient étant affecté k l'aire située à la

gauche du trait, c^est à dire à la gauche d*un obserrateur qui parcourt, dans le sens indiqué par la flèche, la portion de la courbe qui sépare les deux régions. Par exemple, si Ton part du point A, Taire extérieure ayant le coefficient 0, la région située à gauche de A devra être affectée du coefficient 1. En continuant à parcourir la courbe et en appliquant la règle toutes les fois qu'on le pourra, on déterminera successivement les coefficients 'qui conviennent à chaque région.

Cette opération étant terminée, Tintégrale ^ représentera la somme des aires de toutes les régions, multipliées chacune par le coefficient qui lui appartient, et c'est à cette somme que nous donnerons le nom d'aire de la courbe. On voit qu'elle est indépendante de l'origine des coordonnées choisies.

Si la courbe n'est pas fermée et qu'elle s'étende du point M^ au point M| comme dans la figure 169, on la fermera en ajoutant les deux

rayons vecteara 0' M^, 0' M^ qui joignent ces deux points à Torigine des coordonnées et en supposant qu'on revienne de M| à M^^ par le chemin M.O' M^.

Après avoir rappelé la signification de Tintégrale 21, il nous reste a dire quelques mots des coefficients A, B qui figurent dans la formule (6) et qui sont définis par les équations (5). On a :

/ 5d:tD = | (a (^(1) + <??), et par suite :

Po« Pi désignant les valeurs de P correspondantes aux valeurs (i)^, ^îi^ de 0). On aura donc :

et de mâme :

ef.^-^î^,

g I •„ jj.. «0 — *1

Les intégrales qui figurent dans ces expressions de A et de B sMnterprètent géométriquement de la manière suivante.

Nous avons vu que Ç, t) sont les coordonnées du centre instantané

de rotation par rapport aux axes mobiles. On sait que la courbe (K),

lieu de ce centre instantané dans la figure mobile, roule sur une

courbe fixe (R'). Soient à un instant quelconque B et R' les rayons de

courbure des deux courbes en leur point de contact. Quand on passera

de la position actuelle à la position infiniment voisine, le centre

instantané décrira le même arc ds sur chacune de ces courbes et la

figure mobile tournera évidemment d*un angle égal à la somme des

ds ds angles de contingence des deux courbes ;- » —y On a donc :

Par suite, si Ton suppose que Tare de la courbe (K) ait en chaque point une densité égale ^ v "^ d7' ^® centre de gravité d'un arc de

cette courbe aura ses coordonnées ^\ r/ déterminées par les formules :

Le point (^S r/) est précisément celui que Steiner a nommé centre de gravité des courbures. En Tintroduisant dans les expressions de  et de B on trouve :

B = Oyj' —

et par conséquent la formule (6) pourra s^écrire :

Tous les cercles, lieux des points de la figure mobile dont les rayons vecteurs auront décrit la même aire dans le passage de la position P^ à la position P^, auront donc pour centre le point dont les coordonnées pat rapport aux axes mobiles sont :

Ces formules se simplifient dans deux cas :

l^ Si Ton suppose que le point 0', origine des rayons vecteurs, soit le centre de la rotation finie par laquelle on peut amener la figure mobile de la première position a la seconde, on aura évidemment :

ce qui donne le théorème suivant :

L'aire décriie, dans U passage d^une position P^ de la flgwe mobile à %ne autre position guekongiie P^, par le rayon vecteur Joignant un point 'hl de la figure mobile au centre de la rotation finie qui peut amener la figure de Po

en Pj, est égaU à la moitié de la rotation totale de la Jtçure, multipliée par la puissa9ice du point lApar rapport à un cercle déterminé, ayant son centre au centre de gravité des courbures de Varc de la roulette mobile décrit par k centre instantané dans le passage de la première position à la seconde.

2^ Si le mouvement est périodique et que Ton considère toute la période pendant laquelle les différents points décrivent des courbes fermées, on aura encore a^ = a„ ^, =:^ ^j. Donc :

Quaud un mouvement est périodique, les aires des courbes fermées décrites par les dij'érents points de la Jtgure mobile sont égales précisément à la moitié de la rotation totale multipliée par la puissance du point décrivant par rapport à un cercle fixe de lajlgure mobile dont le centre est le centre de çravité des couràures de la roulette mobile.

G*est le théorème démontré par Steiner dans le cas ou les roulettes sont des courbes convexes.

Il est bon de remarquer, une fois pour toutes, que dans le cas ou la rotation totale de la figure mobile serait nulle, Faire définie p^r la formule (6) deviendrait une fonction du premier degré de â; et de y et serait par conséquent proportionnelle à la distance du point décrivant à une droite fixe. Ce cas particulier n*offre aucune difficulté.

Après avoir étudié les différentes formes de la proposition générale, examinons les conséquences qu'on peut en déduire.

Soient S^ S„ S, les aires relatives à trois points en ligne droite M^, M,, M, de la figure mobile. Nous pouvons toujours supposer que ces points soient sur la droite y = ; en désignant leurs abscisses par â?|, â?„ x^ nous aurons :

S, = ^V — Aa?, + C,

et en éliminant À et C nous trouverons :

Désignons par (ik) la distance M^Mx- prise avec le signe + ou —

suivant le sens dans lequel elle est portée. Uéquation précédente deviendra :

Par exemple, si Ton suppose que les points 2, 3 décrivent une même courbe fermée, on aura S, = S, et Téquation précédente donnera :

Supposons, par exemple, que la courbe soit convexe et analogue à une ellipse, on aura alors = 2;; et la formule précédente deviendra :

£*aire S^ — S^ comprise entre les deux courbes est égale à celle du cercle

dont le rayon est une moyenne proportionnelle entre (21) et (13).

C^est le théorème bien connu de M. Holditch.

Mais si la courbe était une lemniscate, on aurait = et par

conséquent :

S, = Sj ;

tous les points de la droite décriraient des courbes de môme aire.

Soient maintenant S„ S„ S„ S^ les aires décrites par quatre points de coordonnées x^^ y^^ ..., x^^ y^. En écrivant les expressions de ces aires au jnojen de la formule (6) et éliminant les constantes A, B, C on aura la relation :

^t* + yt* ^i Vi 1

^,* + Vt ^% y% i

que Ton peut développer comme il suit. Appelons (123) Taire du triangle formé par les points 1, 2, 3 prise avec le signe + ou le signe — suivant que le sens de la rotation dirigée de Ox vers Oy aéra celui de la rotation autour du triangle ou celui de la rotation contraire. On aura :

P désignant la puissance du point 4 par rapport au cercle circonscrit au triangle (123). Ce théorème a déjà été démontré par M. Leudersdorf pour le cas des mouvements fermés.

Après avoir étudié les aires décrites par les différents points de la figure mobile, nous allons considérer les différentes courbes enveloppées par les droites de cette figure.

Soit :

(11) «fl? 4- «y + w = 0,

réquation d'une droite rapportée aux axes mobiles, on peut supposer que Ton ait :

Uéquation de cette droite rapportée aux axes fixes sera :

(12) tfj a?, -4- t^^y, -I- n?, = 0,

oïl Ton aura :

u^ =r « cos 0) -— sin iùf t^j = « sin (0 + V cos 0), Wj = w -h «a -f- «p,

et par conséquent :

Le point o\x la droite mobile touche son enveloppe est défini par réquation (12) jointe K la suivante :

iP, du^ H- y^ dv^ -4- dw^ = 0,

ce qui donne pour les coordonnées de ce point :

En différentiant ces formules on obtiendra :

dv, = „. <io> [«. + «(« + ij) + .(& + ^)].

(i> étant toujours considéré comme la variable indépendante.

Ces relations conduisent à différentes conséquences que je me contenterai d^énoncer; car elles sont bien connues et se démontrent aussi facilement par la Géométrie que par PÀnalyse.

Si à un instant donné on considère taules les droites de la figure mobile^ celles qui touchent leur enveloppe en un point de rebroussement passent par un point A dont les coordonnées par rapport aux axes mobiles sont :

iP = a4-— j y=p4- — î' aw' dtù

Le centre de courbure de Venvelqppe d'une droite quelconque est le pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur la normale à renveloppe.

Le point A est défini géométriquement par la propriété suivante : le cercle ayant pour diamètre la droite qui joint le point A au centre instantané^ cercle qui est le lieu des points de rebroussement des enveloppes de droites, est symétrique par rapport à ce centre instantané du cercle lieu des points dont les trajectoires ont une inflexion.

Nous nous bornerons à développer ce qui concerne les arcs des courbes enveloppes. On aura, en employant les formules (13) :

ds = Vdx^^ 4- dy,^ = w + ft ( a 4- -4) + t? ( g + -4) diù,

ds désignant la différentielle de Tare de Tenveloppe, et par suite si Ton veut avoir Tare de Tenveloppe quand la figure mobile passe de la position Pq à la position \\^ on trouvera :

et par conséquent :

désignant toujours la différence (i)| — b\* Posons :

L'expression de Tare deviendra : '

et de là résulte le théorème suivant :

Si Vm considère la figure mobile dans deux quelconques de ses positions P^, P,y Varc enveloppé par une droite quelconque de cette figure dans le passage de la première position à la seconde est égal à VangU dont la figure a tourné multiplié par la distance à cette droite d'un point déterminé (q,', y^') de la Itgwre mobile (*).

Il est bon de remarquer pour les applications qu*ici la différentielle de l'arc a un signe et que ce signe change lorsqu^on passe par un point de rebroussement de Fenveloppe.

En vertu des formules qui déterminent Xt ^/ on trouvera :

+ TQo.

er/:=

ou, en se rappelant les formules (7) :

V = V + :îi-^%

On voit donc que le point (;', r/) dépend encore du centre de gravité des courbures de Steiner. Du reste les formules précédentes permettent de le construire immédiatement. Soient A^, A^ les deux positions initiale et finale du centre instantané de la figure mobile et soient G'

(1) Dans un arliclo intéressant inséré au Bulletin de la Société Philomathi^ue (1869, p. 12) M. Ribauitour a énoncé la môme proposition sous la forme suivante : lorsqu'une figure plane se meut d'une manière quelconque dans son plan, toutes les droites de cutte ligure enveloppent des courbes dont les longueurs sont les mémos que si le système avait tourné du même angle autour d'un certain point de I:i figure.

le centre do gravité des courbures, 0' le point à construire. Pour avoir la direction et le sens de C 0" il faudra faire tourner A^ A^ de 90^ dans le sens des rotations de Ox vers 0^. De plus la grandeur de C C est donnée par la formule :

On voit en particulier que si le mouvement est périodiqile et si Ton en considère une période entière, A^ coïncide avec A| et le point cherché est le centre de gravité des courbures.

On peut obtenir ici des propositions analogues à celles de MM. Holditch et Leudersdorf. Considérons d'abord trois droites concourantes de la figure mobile D, D^, D, représentées par les équations :

y cos 9 — a? sin (p = 0, y cos 9, — X sin <p, = 0, y cos <p, — X sin f , = 0.

On aura pour les arcs ;, f j, s^ des enveloppes de ces trois droites

les formules :

^ = (r/ cos 9 — Ç' sin ç ),

s^=zb {r' cos 9, — Ç' sin 9,),

*, = ô (yj' cos (pi — 5' sin 9,),

• ce qui donne, en éliminant %', r' :

(ik) désignant le sinus de Tangle des droites D,-, D^.

Cette formule, si simple, permet de résoudre le curieux problème suivant :

ÉlanC données deux courbes (C), (CJ, trouver une nouvelle courbe fC,) dont rare soit égal à la somme des arcs des deux courbes.

En effet, menons à (C), (C J respectivement deux tangentes D, D^ faisant un angle constant A et considérons la bissectrice D, de Tangle formé par D, D,. Les trois droites D, D^ D, constituent une figure invariable et si Ton applique la formule précédente on aura :

2s^ cos— = s -h ^„

en supprimant le facteur commun 8in --• L^arc s^ de la courbe

enveloppée par la bissectrice est donc proportionnel à ^ + f^. Une courbe semblable aura donc un arc exactement égal à « + «^ (^).

Enfin, si nous considérons trois droites D, D^, D, forman1> un triangle et représentées par les équations :

« cos ç,- 4- y sin ç,- — p< =: 0, i = 0, 1,2,

on aura, en employant la formule (15) et en éliminant |', r/ des trois équations obtenues :

s cos 9 sin ç Si cos Çi sin Ç| s^ cos 9, sin ç^

p cos 9 sin 9 p^ cos 9| sin 9j p^ cos 9, sin 9,

Il n^est pas difficile de transformer cette formule et de voir qu'on peut récrire :

as + bSi -h cs^ = 26 S,

a» d, e désignant les longueurs des trois côtés et S la surface du triangle formé par les trois droites D, Dj, D,.

Nous laisserons au lecteur le soin de faire des applications, et pour ^ terminer ce qui se rapporte aux enveloppes de droites nous chercherons les aires de ces enveloppes. Les formules qui donnent â?„ |f|, dx^y dy^ nous conduisent à la relation suivante :

et Ton a par conséquent :

rwi r^i/ d'7.\

I (x, dy^ — y, dx,) = w'O + «?r f l^^i + -7~î) <^w

rwi/ rf'3\ r^i/ rf'3

(^) Dans les Nouvelles AnnaUs de Mathématiques (t. XIV, 2* série) M. Fourcl a fait conaaitro ua cas ])urli('uIior de cctto ruastruclrju, celui où l'auglc coudlaul a scà deux cùiés tangeuU à uue mùmo courbe.

L^aire de Tenveloppe sera donc de la forme :

et par conséquent les droites dont les enveloppes ont ane aire constante E satisfont à l'équation :

(19) w^ - 4- Auw -h A'pw + Bi»* -h B'o* H- Ouo = K = K(»' + o-).

On reconnaît Téquation tangentielle d'une série de coniques homofocales. Ainsi :

Si Von considère les droites de U figure mobile^ telles q%e le rayon vecteur Joignant un point fixe du plan à leur point de contact avec leur enveloppe décrit une a^e donnée quand la figure mobile passe de la position P^ à la position Pp ces droites enveloppent une conique de la figure mobile dont Us foyers demeurentfixes quand la valeur constante de Paire donnée varie.

Dans le cas oii le mouvement est périodique, si on applique le théorème précédent à une période entière, on reconnaît que le centre de la conique coXncide avec le centre de gravité des courbures de la roulette mobile.

Quelques-unes des propositions précédentes s'étendent soit au mouvement d'une figure invariable sur la sphère, soit aux déplacements dans l'espace. Mais pour cette généralisation je renverrai au travail que j'ai publié dans le Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques en 1878 (t. II, 2^ série, p. 339 et suivantes).

SDR UN HODTEL APPAREIL A UGKE DROITE DE H. BART.

Daos lea Proeetding» 0/ tke ZoHdon MàtAematUal Society (vol. VIII, p. 288), U. Hart qui avait déjà trouvé un premier système articulé réalisant avec cinq tiges seulement la description mécanique de la ligue droite, a fait connaître une nouvelle solution du même problème danslaquelle il emploie le même nombre de tiges.

Le nouvel appareil de M. Hart, tout à fait différent du premier, nous parait ofTrir le plus grand intérêt. Hécemment M. Kempo l'a retrouvé, en étudiant une question plus générale sur laquelle noua avons eu l'occasion de revenir (').

Nous nous proposons ici d'exposer la méthode de M. Hart, en la généralisant quelque peu et en mettnnt en évidence quelques conséquences très simples des résultats obtenus par l'auteur.

Soit ABCDP un pentagone articulé lise par les deux sommets A et B. Le mouvement de cette figure dépend de deux paramètres ; par exemple, on peut prendre arbitrairement les angles en A et en B; nous achèverons de déterminer ce mouvement par la condition que les angles en C eteuD soient égaux. Nous allons voir que cette condition, qu'il serait difficile de réaliser mécaniquement, peut être remplacée par celle-ci, que deux points H, E convenablement choisis sur AD et

<■) A.-B. Kempi, On eonéugale Fotif-piee» Linias» (Procrtgingt qf Ihi Londo» Itath»utatlcalSoeltly, vol. IX, p. i:i3, n" 132).

G- Dinnoui. Btchereha tvr Ko lyjJrtw artievU (BulUlln dtt Seleneei malhfmaUjuei tta*troaemitiiti,itsérie,l.m,p. 151-lHT).

DESFEvnors. — Sécanique. 27

sur BG soient maintenus a une distance constante et par conséquent reliés par une tige de longueur convenable.

En effet, déterminons un point H sur AD, par la condition :