PH Û PE Y

PB (?(1 4- >fe) PA J(l 4- ^)

Cela posé, en vertu des équations (2), (4), les angles APH, BPE sont égaux comme différences d'angles égaux, et, «par conséquent, les angles en P des deur triangles HPË, APBsont aussi égaur. On atira donc, en désignant par P leur valeur commune :

HE = PH + PE — 2PH.PE cos P.

AB = PA 4- PB — 2PA.PB Cos P.

En éliminant le cosinus inconnu et remplaçant PH, P£ par leurs valeurs tirées des équations {1)^ on trouve ;

On a d'ailleurs, dans les deux triangles APD, BCP :

Ap = p* H- *'(i -H ity — 2ô(i -h >fe) P cos e,

BP*= Y* -f c*(l + *)' — 2c(l 4- *) Y cos e,

désignant la valeur commune des angles C et D. Éliminant 0, on trouve :

(8) CY PÂ* — ^g PB* = (^Y — ^&) *^ (1 + ^)y

et, par conséquent, on a :

, (tfY — *&)(^Y — ^W «**

HE = '— î î^^-^-î ^ 4-

*c(l 4- >fe) 1 4- a'

HE est donc constant, comme il fallait le démontrer, et, en désignant par d sa valeur, on a :

Ainsi, Ton pourra produire ce mouvement particulier du pentagone articulé, dans lequel les angles C et D variables sont constamment

égaux, en réunissant les deux points H et £ par une tige de la longueur d définie par Péquation précédente.

Mais alors Téquation (8) donnant une relation entre les distances du point P aux deux points fixes A et B, est Téquation du lieu du point P; ce lieu est, en général, un cercle ayant son centre sur la droite A B.

Si, dans Téquation (8), on remplace P A, PB en fonction de PH, PE, on est conduit à Péquation :

Jg FÊ'— cy Ph'= bck {by — cg),

et Ton voit que, si au lieu de fixer A et B on fixait H et E, le lieu de P serait encore un cercle ayant son centre sur HE. En étudiant plus complètement cette figure, on retrouyerait les systèmes de deux quadrilatères semblables considérés par M. Kempe dans le Mémoire que nous avons déjà cité.

Si Ton a :

(10) cy = à&,

réquation (8) deviendra :

Pa'— PB* = 7 (l 4- >t) {b'f - cg),

et le lieu du point P deviendra une droite perpendiculaire à AB. C'est le résultat signalé d'abord par M. Hart. On a alors :

d^ à or — d*

\ acd , bd* , ,, da*

\ / \ ^ a' — tf* or -^ d* a* — d*

f abd , cd* . ca}

Cette remarquable solution laisse donc entièrement arbitraires les quatre côtés du quadrilatère articulé ABEH. Le lieu du point P est alors défini par l'équation :