NN
NS
sin i
i étant Tangle que fait M N avec la tangente en N à la courbe AKB.
D^autre part, comme les normales en M et en M' font un angle égal à ^o> et se coupent en un point très Toisin de Q, on a au degré d^approximation déjà indiqué :
NS = (p + PQ) iw = (p 4- 2a sin w) efw,
et Ton obtient alors, pour expression définitive du temps par la courbe :
p + 2a sin o) dtù
^ |/2^ . p sin 0) s**^ *
426 COURS DE îfÉCANIQUE.
n 8*agit d^établir que cette intégrale est plus grande que celle qui correspond à la cycloïde AHB. Pour cela nous commencerons par supprimer sin i, dans chaque élément; cette suppression ne peut que diminuer Pintégrale, qui deviendra :
pp + 2flsinw __ r°/ - 2g sin o X J^ |/2j sin ù> "^ ^J^ V P "^ l/û /
if (il
y 2g p sin (i> Ja \ r V^ ) V^g sin co
Sous cette forme nous voyons immédiatement que chaque élément de rintégrale, considéré comme fonction.de p, est la somme de deux quantités dont le produit est constant. Chacun des éléments, et par suite Pintégrale totale, prendra la plus petite valeur possible .quand on aura :
p =2a sin (o.
Or, les deux hypothèses :
sin i = 1, p =:2a sin g),
correspondent au mouvement par la cycloïde AHB. La proposition que nous avions en vue est donc établie. Dans les conditions que nous avons indiquées, la cycloïde est la brackjfstochrone ou courbe de plus vite descente pour le point matériel pesant.
La propriété précédente subsisterait encore si, au lieu de supposer la courbe A KB plane et située dans le plan de la cycloïde, on prenait une courbe quelconque allant du point A au point B. Pour l'établir, on projette la courbe considérée sur le plan de la cycloïde et Ton reconnaît immédiatement que le temps mis parle mobile à parcourir la projection est moindre que celui qu^il met à parcourir la courbe dans Tespace. En effet, les éléments correspondants des deux courbes sont parcourus avec la môme vitesse, mais Télément de la projection est toujours inférieur ou égal à celui de la courbe dans Tespace.
La belle démonstration qui précède est due à M. 0. Bonnet.
