SUR UNE LOI PARTICULIÈRE DE LA FORCE

SIGNALÉE PAR JAGOBI.

Dans la théorie des forces centrales, on s'occupe surtout du cas où la force dépend seulement de la distance du point mobile au centre attirant. LMUustre Jacobi a signalé une loi plus compliquée de la force qui est donnée par la formule :

r désignant la distance au pôle et tù Pangle polaire. On voit que si Ton suppose la fonction /*((«)) remplacée par une constante, on retrouve la loi de Newton. Jacobi a montré que Ton peut toujours trouver les équations finies du mouvement du mobile pour toutes les formes possibles de la fonction /(o)).

Écrivons, en effet, les équations différentielles du mouvement. Les deux composantes de la force parallèles aux axes sont :

Li-i cos 0), '-V^ sin (0.

On aura donc, pour les équations différentielles :

(1) -rn = — 5-. cos ti), ~v = -V- sm w.

^ ^ dû' r' ' dt' r»

On peut évidemment adjoindre à ces deux équations Tintégrale des aires :

(2) r'dtù = Cdê,

qui en est la conséquence.

Mettons la première des équations (1) sous la forme :

de \dc) "" r*

COS b),

et remplacons-y ^ par sa valeur tirée de Téquation (2) ; elle deviendra

{tH

— cos 0) ao).

L^integration peut donc s^efféctuer immédiatement et nous donne :

(3) Tê^ôJ f(^^)^^^^^^' On aura de même :

(4) g = ^ffii^) 8in « rf«.

Ces deux équations jointes à Tintégrale des aires : /K\ dy dx

donnent la solution complète du problème. Si Ton porte, par exemple,

dx dy , ,

les valeurs de — » — tirées des équations (3) et (4) dans Téquation (5)

dt de

on aura :

(6) w I f{tù) sin (I) — y j /(a)) cos w = C*.

C^est réquation en termes finis de la trajectoire. Si Ton y remplace x et y en fonction de r et de b), elle devient :

— r= cos (I) I /(to) sin u> i(i) — sin (i) i /"((o) cos u) rfo).

En portant ensuite la valeur de r fournie par cette équation dans la fornfùle (2), on aura le temps par une quadrature.

Supposons, par exemple, qu*il s^agisse de la loi de la nature et faisons :

\L désignant une constante. On aura :

/"(w) sin <i) i(i) = [L cos ci) + a= ji. — f-a,

I /■((!)) COS w rfw = — (A sin G) — 3 = — i* "" ~ P ;

a et étant les deux constantes introduites par Tintégration. L^équation de la trajectoire deviendra ici :

(8) jjir -h ax -h ^y = C.

Elle représente, on le voit, une conique rapportée à son foyer et dont Texcentricité a pour valeur :

Les formules (3) et (4) nous donnent ici :

dy de ""