X CL

et Ton en déduit pour la vitesse du mobile, en tenant compte de réquation (8) :

(11) t?» =^ ^ + ?LZ1^^ ^. .

La constante h des forces vires a donc pour expression :

OU, en vertu de l'équation (9) :

On voit donc que la trajectoire sera une ellipse si la constante des forces vives est négative, une parabole si cette constante est nulle, une hyperbole si elle est positive.

Dans le cas où ;jt, est négatif, la force est répulsire; la constante des forces vives étant essentiellement positive, la trajectoire est toujours une hyperbole.

Revenons au cas général où f{(ù) est une fonction quelcoiique. Si dans la formule (7) on met en évidence les constantes arbitraires introduites par l'intégration, on' voit que Tequation de la trajectoire sera de la formé :

(13) - = a ô (o)) + & cos (i) + c sin w,

OÙ 0((i)) est' une fonction parfaitement déterminée de <ù et où a, b^ o sont les trois constantes arbitraires qui doivent figurer dans Téquation de la trajectoire. De là résulte la proposition suivante :

Si L*oïi a trouvé uiie solution particulière quelconque du problème dans laquelle la trajectoire, est définie par l'équation :

on aura immédiatement r équation de la trajectoire la plus générale avec trois constantes arbitraires, par la formule :

- = a 9 ((*)) + ^ cos (i) + Y ^^^ ^'

Par conséquent, si lapremière trajectoire est algébrique, il en est de même de toutes les autres qui sont des courbes àomologlques à la première.

Cette remarque a quelque intérêt parce qu'elle montre qu'il existe des lois de la force pouvant faire décrire à un mobile des trajectoires qui seront toutes algébriques et d'un degré déterminé, quelles que soient ]es conditions initiales du ihouvcment.

Supposons en effet, étant donnée une courbe quelconque (C), qu'on la fasse parcourir par un mobile de telle manière que l'accélération soit dirigée vers un point û&e que nous prendrons pour pôle. On peut toujours donner à la^force qui détermine ce mouvement une expression de la forme :

Réciproquement, si Ton cherche le mouvement le plus général produit

par Paction de cette force, comme on connaît déjà une trajectoire particulière, la courbe (C), on peut conclure de notre proposition que la trajectoire la plus générale sera une courbe homologique à (C), étant le centre d^homologie. On voit donc que si (C) est algébrique et de degré déterminé, on aura une loi de la force dans laquelle toutes les trajectoires seront des courbes algébriques, d'un môme degré qui peut d^ailleurs être quelconque, à saToir le degré de (C).