SUR LES LOIS DE KEPLER

Dans deux articles sur la possidililé de déduire d'une seule des lois de Kepler le principe de V attraction insérés au tome 84 des Comptes rendus de V Académie des Sciences, M. Joseph Bertrand a traité différentes questions très intéressantes relatives au mouvement des planètes autour du Soleil.

Dans le premier, inséré à la page 671, cet illustre géomètre a d^abord démontré que si Kepler n^avait déduit de Tobservation qu*une seule de ses lois : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers, on aurait pu, de ce seul résultat érigé en principe général, conclure que la force qui les gouverne est dirigée vers le Soleil et inversement proportionnelle au carré de la distance. Il a ensuite proposé pp. 673 et 731 le problème suivant :

E}i sachant que les planètes décrivent des sections coniques et sans rien supposer de plus, trouver Vexpression des composantes de la force qui les sollicite, en fonction des coordonnées de son point d* application.

M. Bertrand a d'abord établi, par des considérations géométriques fort simples, que la force est nécessairement dirigée vers un centre fixe ou parallèle à une droite fixe. La dernière hypothèse est incompatible avec une orbite fermée; il faut donc nécessairement admettre la première et supposer que la direction de la force va passer par un centre âxe. On est ainsi amené à résoudre un problème incomparablement plus facile que le précédent et dont voici renoncé :

Trouver Vexpression de la force qui, dirigée vers un centre fixe, fait décrire une section conique, quelles que scient les conditions initiales du mouvement.

J^ai donné (pp. ^60 et 936 du même tome) une solution directe du problème ainsi transformé, et c^est cette solution que je me propose de développer ici. Mais auparavant, j^emprunteraî à un beau travail de M. Halphen sur le même sujet (p. 939 du même tome), renoncé de la proposition suivante :

Si une/orce, dépenàanC seulement de la position de son point d'application, /ait décrire à ce point, quelles çue soient les circonstances initiales^ une trajectoire plane, cette force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe.

Cette proposition a été démontrée analjtiquement par M. Halphen ; mais il est facile d*en donner aussi une démonstration géométrique.

Soit eu effet P le plan de Tune quelconque des trajectoires (C), je dis que pour tout point m de P la force est située dans ce plan.

Cette proposition est évidente pour tous les points de la trajectoire (C). Si maintenant on place le mobile en uu de ces points, en lui attribuant une vitesse initiale assujettie à la seule condition d^être dans le plan P et de ne pas avoir la direction de la force en ce point, on aura par hypothèse des trajectoires toutes planes. Leur plan qui doit contenir à la fois la vitesse initiale et la direction initiale de la force coïncidera évidemment avec le plan P. Ainsi ce dernier plan contiendra non seulement la trajectoire (C), mais une foule d^autres trajectoires émanant des différents points de \{0) et remplissant au moins une bande du plan de part et d^autre de (C). En répétant le raisonnement pour les points à la limite de cette bande, on finira évidemment par atteindre tous les points du plan P et il est ainsi démontré que pour tous ces points la direction de la force sera dans le plan.

Ce résultat étant admis, il est très aisé d^établir que la force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe. Pour cela, je vais montrer que les forces relatives à deux points quelconques «i, m* de Tespace sont dans un même plan.

Cela est évident, si la direction de Tune des forces coïncide avec la droite mm! . Si aucune des forces ne coïncide avec cette droite, faisons passer un plan par mm^ et la direction de la force en m. Ce plan sera celui d^une trajectoire ; il suffit pour Tobtenir de placer le mobile en m et de le lancer dans la direction mm! , Donc, diaprés une proposition établie, il contiendra la direction de la force relative à tous ses points et en particulier au point m* . Donc, les forces relatives aux deux points m, m* sont bien toujours dans un même plan.

Despeyrous. — Mécanique. 28

Soient maintenant a, b deux points fixes et 14 un point variable. Si les forces relatives à a et à d vont concourir en un point O, la force relative au point m étant dans un même! plan avec chacune des précédentes devra aller passer au point fixe 0. Si au contraire les deux forces relatives aux points a et à sont parallèles» la force relative au point m leur sera parallèle et par conséquent aura une direction fixe. La proposition de M. Halphen est donc complètement établie.

Il suit de cette proposition qu^un observateur placé sur le Soleil etr qui verrait toutes les planètes dessiner, dans leur mouvement, des grands cercles de la sphère céleste, pourrait conclure de cette seule remarque que la force qui agit sur les planètes est dirigée vers le Soleil.

Dans le problème, tel que Pavait énoncé tout d*abord M. Bertrand, on suppose que le point matériel décrit toujours, non seulement une courbe plane, mais une ellipse. Seulement, on considère toutes les trajectoires comme étant décrites dans le même plan. On a donc à résoudre une question de dynamique plane ; mais, ici encore, on peut obtenir la même conclusion que précédemment et démontrer que la force est centrale ou parallèle a une direction fixe.

Si la trajectoire du mobile dans le plan considéré est toujours une conique, on démontrera aisément, comme le fait M. Bertrand, que cette conique peut dégénérer en une droite. En effet, si la vitesse initiale est dans la direction de la force, le rayon de courbure de la trajectoire au point initial sera nécessairement infini, et par conséquent la conique devant avoir un rayon de courbure infini sera nécessairement une ligne droite. *

Par chaque point du plan, il passera une de ces droites et comme elles ne peuvent se couper qu*en des points où la direction de la force soit indéterminée, elles seront toutes concourantes ou parallèles. En effet, s'il en était autrement, chacune des droites serait coupée par toutes les autres en une infinité de points oîi la direction de la force serait indéterminée, ce qm est évidemment impossible.

Tel est le raisonnement de M. Bertrand. J^aborde maintenant la solution du problème auquel nous sommes ramenés.

Sachant qu'un point matériel soumis à r action d'une force centrale décrit toujours une conique, on demande de trouver Vexpression de cette Jbrce.

Ou connaît déjà deux solutions de ce problème : le cas ou la forée est proportionnelle à la distance et celui oii elle est en raison inverse du carré de la distance. Mais dans ce qui va suivre, nous ne supposerons pas quMl y ait une fonction des forces, c^est k dire nous admettrons que ^ la force agissant sur un point peut dépendre, en même temps qiie.de la distance du point au centre fixe, de Tangle que fait la direction de la force avec une droite fixe du plan.

Rapportons le mouvement à des coordonnées polaires et prenons pour pôle le centre attirant ou origine de la force. Soient r et o) les coordonnées du mobile» C la constante des aires, F la grandeur de la force. L^expression de F sera, comme on sait :

La trajectoire étant une conique, nous aurons, en écartant le cas, du reste très facile à traiter, ou la conique passe au pôle, une équation de la forme :

(2) - = a cos (*) H- * sin (o H- l^A cos 20) + B siu 2ti) H- H ;

a, è, Â, B, H étant les cinq paramètres qui définissent la conique. On déduit de l'équation (2), par un calcul des plus simples :

^w' (A cos 2(0 + B sin 2w + H)ï

ce qui donne :

r* (A cos 2(1) + B sin 2(ix -f- H)ï

Cette expression relativement simple de F permet d'apercevoir immé" diatement deux solutions du problème :

1» Posons :

(4) A — O'w, Bz:zO'«, HrnO'A, C*(H* — A' — B')z=|xO\

Nous aurons pour expression de la force :

r* {m cos 2(iï + » sin 2(o + h) «

et pour équation de la trajectoire ;

(6) - = a cos (0 + J sin 0)4- 6 Vm cos 2(0 + » sin 2ii) + A.

Cette formule, contenant trois constantes arbitraires a, b, ne âgurant pas dans Texpression de la force, est donc Véquation la plus générale de la trajectoire quand la force est représentée par l'équation (5).

Les coniques représentées par l'équation (6) ont une propriété géométrique remarquable et qui suffit à définir le système qu'elles forment. Lorsque a, J>^ varient, elles demeurent tangentes à deux droites fixes réelles ou imaginaires passant par l'origine des coordonnées.

Si l'on veut que la force ne dépende pas de (o, il faudra supposer 7» 1= it = 0, ce qui conduira à la loi de Newton.

2° En tenant compte de l'équation de la trajectoire, l'expression de la force peut aussi s'écrire :

I a cos (*) — J sin (j) I

Il suit de cette nouvelle expression de la force une deuxième solution du problème proposé. On voit, en effet, qu'en adoptant la trajectoire définie par l'équation :

(8) - = a coâ (I) + ô sin w 4- Vk cos 2(0 + B sin 2(o -h H,

et en la supposant parcourue de telle manière que la constante des aires ait la valeur déterminée par la formule :

(9) C» (H« — A* — B») = IX, on aura pour expression de la force :

r- I a cos (0 — J sin (o j

NOTE xn. 437

Uéquation (8) contenant trois constantes A, B, H qui ne figurent pas dans l'expression de la force, représente la trajectoire la plus générale qu'un point matériel puisse décrire sous Taction de la force, et cette trajectoire étant encore une conique, on obtient une deuxième loi de la force satisfaisant à toutes les conditions posées^

Les coniques représentées par l'équation (8) lorsque A, B, H varient, sont caractérisées par cette propriété que la polaire de l'origine des coordonnées par rapport à l'une quelconque d'entre elles est une droite fixe dont l'équation est

- =: fl cos (i) + d sm w;

si a et ^ sont nuls, la loi de la force devient :