F = [LT

Les coniques représentées par l'équation (8) ont l'origine pour centre et l'on retombe sur un résultat connu :

Les deux lois de la force que nous venons de trouver, sont les seules pour lesquelles la trajectoire soit une conique. Pour le montrer, nous reprendrons Téquation générale d'une conique :

(11) - = a cos u) -h J sin (I) + Ka cos2(o + Bsin2b) H- H,

et nous supposerons que cette équation représente l'une des trajectoires. Alors a, b. A, B, H seront cinq fonctions inconnues des trois constantes arbitraires qu'introduit Tintégration complète du problème, constantes arbitraires que, pour fixer les idées, nous désignerons par a, ^, y. L'expression de la force agissant sur le mobile est donnée par la formule :

r' (A cos 2(1) 4- B sin 2(0 + H) »

C désignant la constante des aires, ou plus simplement :

r* LA cos 2(0 + B sin 2(o + HJ '

R désignant comme C une fonction inconnue des trois constantes arbitraires.

Cela posé, faisons varier les constantes a^ 0, y ^® ^^^^ manière que la conique trajectoire passe toujours par un point déterminé (r, o>). On aura en différentiant Téqaation (11) dans cette hypothèse :

,.,^ , . ,. cos2(i) (fA H- sîn 2(1) rfB + rfH

(14) cos <i) rfa •+• sin w aô H zizzzi=zz=z==z=l = "•

2 |/A cos 2(1) -f- B sin 2u) + H

D*ailleurs, la force devant demeurer constante pour le même point, on aura dans les mêmes conditions dF = 0, c^est à dire :

(15) cos 2(1) d' T- j + sin 2(i) d- ^^) + d (~\ = 0,

et cette relation différentielle doit être vérifiée pour chaque système de valeurs dp u), a, P, y toutes les fois que Téquation (14) le sera.

Or, cette condition ne peut être remplie que de deux manières différentes :

P Uéquation (15) peut avoir lieu, quel que soit (o, si Ton a :