ABC

Alors £7* ^> ^ sont des constantes indépendantes de a, p, y et nous K K K

sommes conduits à la première loi trouvée, exprimée par la formule (5) ;

2^ Uéquation (15) n'est pas identiquement vérifiée ; dans ce cas, elle doit être une conséquence de la formule (14) et cela pour toutes les valeurs de o).

Pour quMl en 3oit ainsi, il faut évidemment que les équations (14) et (15) aient la même forme et que les termes en sin'u), cos co qui ne figurent pas dans Téquation (15) disparaissent de la relation (14), On doit donc avoir :

da = 0, db = 0,

et par conséquent a et b doivent être des constantes, ne dépendant pas des arbitraires a, ^, y* L^expressîon de la force devenant alors :

I a cos u) — ^ sin (1) I

NOTE XTI. 4IÎ9

et le dénominateur ne contenant plus 2, 0, y» ^^ ^^^^ Q^^^^ ^^ ^^i^ ^^ même du numérateur. On obtient ainsi la seconde loi de la force, donnée par la formule (10) (*).

Les deux lois auxquelles nous avons été conduits directement sont donc les seules qui fournissent une solution de notre problème. Si on les exprime en fonction des coordonnées x et y^ elles prennent la fomie :

{ax^ ■+■ 2bxy -4- cy') «

(ax -+- ^y + (?)*

En se reportant & des mouyemeiits 8*accomplîssant dans Tespace, on reconnaîtra aisément que les deux lois de la force centrale représentées

(1) On peut rendre le raisonnement plus précis de la manière suivante :

Toutes les fois que Ton a entre les différentielles dot, d^, dy la relation exprimée

par la formule (14), l'équation (15^ doit aussi ôtre vérifiée. 11 faut donc que l'on ait,

pour toutes les valeurs possibles de ces différentielles :

cos 2tùdljA + sin2(i) ^(ir)4- ^(k)

(^^ i .r j , • jt I cos 2eo rfA + ain 2»o rfB 4- </Hl

L ^2 l/Acos2w-f-B sin -2(0 +hJ

X étant un facteur fini qui peut dépendre de (o.

Changeons dans cette équation u> en (i> -}- t:. Elle deviendra :

co8 2(o ^ijA +8in 2« f^ltr) + ^{k)

(^ i .,r ^^^ , . ,. , cos2corfA + Bin2«rfB + rfH-| = A— cos ts> aa — sm tù aô -\~ ■ - , ! — y— , \ | .

L 2l/Acos2a)-}-Bsin2u) + Bj

En égalant les seconds membres des équations (l)et (2), dn aura donc :

(a 4- X') i (fl cos w + 3 sin «) = (X' — X) d. 1/ A cos 2(o + B sin 2a) + H.

Si da et db n'étaient pas nuls, X serait différent de X', et en vertu de l'équation précédente, le radical l/À cos 2<iï 4- BTin 2a) -^H dépendrait seulement des deux variables a cos tù-\- b sin o) et o). Par conséquent l'équation de la conique trajectoire contiendrait au ^lus deux constantes arbitraires a et b, ce qui est évidemment impossible.

On est donc conduit à supposer :

da = db = 0,

et Ton obtient alors la seconde loi de la force, corrcspondanie à l'hypothèse dans laquelle l'équation (15) n'a pas lieu identiquement.

par les formules :

{ax -^ bp -h cz -h dy

sont les seules qui paissent se réduire aux formes précédentes pour les mouvements s'effectuant dans chacun des plans passant par l'origine de la force et par conséquent les seules pour lesqaelles la trajectoire soit toujours une conique.

Le cas que nous avons écarté où les trajectoires seraient des coniques passant à l'origine ne donnerait quVne loi de la force comprise comme cas particulier dans la formule {b) et correspondante à Thypothèse d = 0.