AU FROTTEMENT
Nous supposons qu^un point matériel, soumis à Taction de forces qui dépendent uniquement de «la position de ce point, soit assujetti à se mouvoir sur une courbe plane et nous nous proposons de former réquation différentielle des courbes pour lesquelles le mouvement de ce point jouit de la propriété du tautochronisme quand on a égard au frottenient. Nous suivrons pour cela la belle méthode donnée par M. Puiseux {Journal de Ziouville, t. IX, l'® série, p. 418).
Lorsqu^m point se meut sur une courbe non polie on sait que, pour tenir compte du frottement, il faut ajouter aux forces connues qui agissent sur le mobile une force nouvelle dirigée en sens contraire de la vitesse et égale à la pression normale que le mobile exerce sur la courbe, multipliée par le coefficient f du frottement, ^application de cette règle générale va nous donner Péquation différentielle du mouvement.
Nous déterminerons la position du point mobile Af sur la courbe par la longueur s de Parc OM compté à partir d^un point fixe de la courbe, cette longueur étant prise avec le signe + ou avec le signe — suivant qu^elle sera portée dans un sens déterminé ou dans le sens opposé. Si Ton attribue également un sens déterminé à la normale en à la courbe, la loi de continuité fera connaître le sens de la normale en M. Alors la force qui agit sur le mobile sera parfaitement déterminée, si Ton connaît pour chaque valeur de s sa composante tangentielle T et sa composante normale N, en grandeur et en signe. Donnons de même un signe au rayon de courbure; convenons de lé regarder comme positif, si, C étant le centre de courbure relatif au point M, le sens
de C M est celui des longueurs positives comptées sur la normale en M ; et comme négatif, dans le cas contraire. Alors la pression du mobile sur la courbe sera à chaque instant :
V désignant la vitesse du mobile et p le rayon de courbure. Si Ton suppose que la vitesse v soit positive, c^est à dire que le mouvement ait lieu dans le sens des arcs croissants, alors, d'après la règle que nous, venons de rappeler, la force de frottement sera égale, en grandeur et en signe, à : ^
et réquation différentielle du mouvement sera :
Il faudrait changer fen — f si le mouvement avait lieu en sens contraire.
*T et N étant par hypothèse des fonctions de s, on voit que réquation (1) est linéaire. Si Ton considère 9* comme Tinconnue, son intégrale sera donc de la forme :
désignant la constante arbitraire et le temps sera ^onné par la quadrature :
ds
Cette intégrale coïncide, aux notations près, avec celle de M, Puiseux. Il suffirait de poser : ^
6(«) ds
= r (y) dy,
pour la ramener k celle qui a été considérée à la page 319 de ce volume. En appliquant le résultat de M. Puiseux, nous voyons que le mouvement ne jouira de la propriété du tautochronisme que
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dans le cas ou Tintégrale qui donne le temps pourra être ramenée à la forme :
P désignant une certaine fonction de ;, P' sa dérivée et A la constante
arbitraire. On trouvera alors, en intégrant entre les limites et Vk pour P :
VA dV Ta
Vk — V' 2
En dilTérentiant la formule (2), on aura pour Pexpression de la vitesse :
Si Ton considère d^ailleurs le temps qui s'écoule entre le moment où
la vitesse est nulle (p = |/a) et celui oîi le mobile arrive au point pour lequel on a P = 0, on voit, d'après la formule (3), que ce temps est indépendant de A ; et par conséquent le mouvement jouît bien *de la propriété du tautochronisme.
he point de tautochronisme P = est caractérisé, comme il fallait s'y attendre, par une propriété mécanique spéciale ; c'est celui pour lequel il y aurait équilibre, si le mobile y était placé sans vitesse initiale ; le frottement ayant d'ailleurs la même valeur que dans le cas oii il y a mouvement.
Exprimons que la valeur (4) de v* satisfait, quelle que soif; la constante À, a l'équation différentielle (1); nous aurons les deux équations :
Pour intégrer la première, introduisons comme nouvelle variable l'angle tù que fait la tangente a la courbe avec l'axe des x. On aura
comme on sait :
ds
— zz= tf(0,
P et la première des équations (3) nous donnera :
On reconnaîtra Aisément quMl est inutile d^introduire une constante arbitraire :
Portons cette valeur de P' dans la seconde équation (5), nous aurons :
et en différentiant les deux membres de cette équation :
C'est réquation différentielle de la courbe cberchée que Ton peut aussi mettre sous la forme :
Nous allons faire deux applications. Supposons d'abord que la force qui agit sur le mobile soit la pesanteur et que Taxe des* y ait été pris vertical ; on aura :
N =: ^ cos (0 T = — ^ sin (0, et l'équation (6) nous donnera :
Cï)- p = ^ (1+ /») cos 0).
Cette équation est de la même forme que dans le cas où il n*y a pas frottement. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
La cycloïde est la seule courbe plane gui jouisse de la propriété du tautochronisme par rapport au mouvement d^un poing pesant, quand on tient compte du frottement.
L'équation (7) ne contenant que le carré de f, le tautochronisme aura lieu quand le mouvement se fera dans les deux sens; Il nous semble intéressant d'étudier les diverses circonstances de ce mouvement.
Considérons une cjcloîde dont la base AB soit horizontale, la convexité de la cycloïde étant dirigée vers le bas. Soient M, M' les deux points, placés sur une même horizontale, où la normale à la cjcloîde fait avec la verticale un angle égal à Tangle de frottement. La cycloïde se trouve partagée en trois arcs A M, MM', MB'. Si le point pesant est placé sans vitesse initiale en un point quelconque de Tare MM', il y demeurera en équilibre, car son poids fait avec la normale k la courbe un angle inférieur ou au plus égal à Tangle de frottement. Si le point pesant est placé sans vitesse en un point quelconque m de AM, il se mettra en mouvement; le point de tautochronisme étant M, il parviendra toujours à ce point dans un même temps T, puis il s*en écartera et sa vitesse redeviendra nulle au bout d^un second intervalle de temps égal au premier. Si à ce moment il est encore sur Tare M M' , il demeurera indéfiniment au repos. Si au contraire il a dépassé le point M' et se trouve sur Tare M' B en un point m' évidemment moins élevé que m, il prendra un mouvement en sens contraire dans lequel le point de tautochronisme ne sera plus le point M, mais le point M' ; enfin au bout d^un nombre plus ou moins grand d^oscillations de durée égale, il finira par s'arrêter entre M et M'.
D'une manière plus générale, étudions le cas où le point est soumis à une force centrale. Si Ton considère la courbe sur laquelle le mobilfe est assujetti à se mouvoir comme Tenveloppe delà droite :
a? sin (i) — y cos w = '^ (w),
on trouvera aisément qu'en appelant r la distance à l'origine des coordonnées, placée au centre attirant, et en désignant par r<^{r) la loi de la force on a :
L'équation (6) deviendra :
Après avoir remplacé rpar sa valeur» on aura une équation du second ordre en ^ dont l'intégration paraît difficile.
Mais si Tattraction est proportionnelle à la distance, o (r) sera une constante à et Téquation deviendra :
ou :
Cette équation est encore de même forme que Sans le cas où il n^j a pas frottement. Donc :
les seules courbes planes qui soient ôautochrones pour des forces centrales proportionnelles à la distance lorsgu'*on tient compte du/rottement, sont celles gui ont été étudiées par if. Puiseua (*) et qui sont tautochrones dans le cas oU il n*tf a pas de frottement.
Ici encore Téquation différentielle ne contient que le carré du coefficient de frottement, ce qui donnera des conséquences analogues à celles que nous avons développées pour la cycloïde.
En terminant, nous signalerons un élégant article de M. Haton de La Goupillière {Journal de Ziouville, t. XIII, 2^ série, p. 304) dans lequel il est démontré que l'épicycloïde et les autres courbes trouvées par M. Puiseux sont les seules pour lesquelles la loi de la force soit comprise dans la formule générale de Lagrange relative au tautochronisme. Mais, comme' le fait bien justement remarquer M. Haton de La Goupillière, la formule de Lagrange, qui contient des fonctions arbitraires d'une seule variable, est bien loin de donner la solution générale du problème du tautochronisme, et il résulte des remarques de M. Bertrand que la formule qui doit remplacer celle de Lagrange contiendra dans son expression une fonction arbitraire de deux variables. La recherche que nous avons entreprise n'était donc pas inutile.
Nous ferons d'ailleurs remarquer que la méthode suivie pourrait encore s'appliquer sans modification, si Ton introduisait une résistance du milieu, proportionnelle au carré de la vitesse.
(<) Voir la ]iagc 326 de ce volume.
