CA'"" P ""A'Ë
ou
Rz^=z?z — Fz\
Donc le moment de la résultante de deux forces parallèles et de sens contraires est égal à la différence des moments de ces forces.
34. Cas où les forces parallèles sont dirigées dans deux sens différents. — Considérons plusieurs forces parallèles, les unes P, P'... dirigées dans un sens, les autres P', F*... dirigées en sens contraire; soit Rj la résultante des premières, R, la résultante des secondes. On aura :
et d'après le numéro (33) :
mom, R =2 mom, Rj •* mem, R,,
mais d'après le numéro (32) :
mom. R, = P^ + P';ï^.. R, = P^-P^..
Inom. R. = PV + P'z^... R, = F + r...
Donc :
Rz, := Pz + P'2'... — PV — P/*...
On voit que ces équations rentrent dans les suivantes :
R=:P-hP'... -hF + F*...
Kz, =z?z^ F-r'... ^ PV + FV 4- ...
pourvu qu'on regarde comme positives les forces qui tirent dans un sens, et comme négatives les forces qui tirent en sens contraire; les moments correspondants seront euxmêmes considérés comme positifs ou négatifs. A l'aide de cette convention, ou a le théorème suivant :
Le moment de la rémltante de plusieurs forces parallèles par rapport à un plan, est égal à la somme algébrique des moments de ces forces.
35. Généralisation du théorèma des moments. — Il reste enfin à nous affranchir de cette condition que tous les points d'application sont situés au-dessus du plan. Supposons \e?\ points d'application les uns au-dessus du plan des œy^ les autres au-dessous. Menons un plan XY parallèle à ocy^ et à une distance h telle que tous les points d'application soient situés au-dessus de ce nouveau plan. Nous aurons (34) :
RZ. = PZ + P'Z' + ...
mais :
donc :
RA 4. ^z, == P^ ^ P'z' ... -f fc (P -f- F .,.)i
OU bien à cause de
On voit que le théorème est général, pourvu que les z soient considérés comme positifs d'un côté du plan et négatifs de l'autre côté. Ainsi le signe du moment dépend de deux signes, celui de P et de z.
36. Recherche des coordonnées du centre des forces parallèles. — Si l'on applique le théorème des moments à trois plans coordonnés, on aura pour déterminer la résultante Ri et les coordonnées x^y y^^ z^ de son point d'application :
Ra?, = ?X'h Vx' + ...
Ryi = Py + PV -+-...
Les coordonnées du centre des forces parallèles ne dépendent que des grandeurs des forces et des coordonnées de leurs points d'application.
37. Remarques. I. — La somme des moments des forces P, P', P' est égale à zéro pour tout plan passant par le centre des forces parallèles; car, en prenant ce plan pour plan des xy, on aura Zj = 0, et par suite :
P;: + PV ... = 0.
Réciproquement, si la somme algébrique des moments d'un système de forc^ parallèles, pai' rapport à un plan, est nulle, ce plan contient le centre des forces. Car de Tégalité :
on conclut z^ = 0.
Dans le cas particulier où les forces P, P', P'... se réduisent à un couple, on trouve R = et les coordonnées x^^ y^^ z^
deviennent infinies. Le centre des forces n'existe plus ainsi que la résultante.
II. — Si tous les points d'application des forces sont dans mn même plan, il est évident que le centre des force» parallèles doit être dans ce plan. C'est ce qu'il est aisé de conclure des équations précédentes. Car si on a :
z = ax 4- fty 4- tf, z' = aa?' 4- by' 4- c,
on aura :
Rz, = a'^Vx + b^Vy + c"^?, Rji = aRojj 4- ftRyi 4- cR, z^ = ax^ 4- 6y, 4- c;
en prenant ce plan pour plan des xy^ on aura :
III. — Si tous les points d'application sont sur une même droite, le centre des forces parallèles sera aussi sur cette droite, et en le prenant pour axe des a?, l'abscisse du centre des forces parallèles sera déterminée par la formule :
Oî. =
IV. — Revenons au cas général, et supposons toutes les forces égales et de môme sens ; nous aurons :
La distance du centre des forces parallèles à un plan quelconque est la moyenne arithmétique entre les distances
des points d'application à ce plan; le centre des forces parallèles coïncide alors avec le centre des moyennes distances des points d'application.
§ III. — Équilibre des forces parallèles,
