Nous allons chercher d'abord les conditions d'équilibre

pour des forces parallèles à une direction :

Soit A ($, TQ, Ç) le centre des forces de morne sens P, P'... dont la somme est S; Ai (§„ t,,,Q le centre des forces tirant en sens contraire P'", P^^ dont la somme est S4 on aura :

S5 = Pa; + Fx'

St) Py + P'y'

S.ri.

Sî = Pz + Vz'

F'af 4- P'^a;'^ + ...

pXT'^IT

Pour qu'il y ait équilibre^ il faut que les deux résultantes partielles agissent suivant la même direction, en sens contraire, et qu'elles aient la môme intensité. Donc on doit avoir, tout d'abord :

En second lieu, il faut que la direction AA^ soit la direction commune des forces, donc :

or: Ç =

* se "T" ...

Çt = -

etc.,

on a donc :

(1) P + P' + ..., -+-r + P'^+ ... = ou 2^ = ^^

Les trois équations (1) et (2) sont celles de Téquilibre.

Si Ton avait pris Taxe Oz parallèle aux forces, on aurait eu : a = p = 0, et on aurait trouvé pour les conditions * d'équilibre :

2p=o, 2Pa?=o, 2^^=^-

On peut énoncer ainsi ces conditions :

1° La somme algébrique des forces doit être nulle; 2^ La somme de leurs moments, par rapport à deux plans

jparallèles à leur direction^ doit être nulle pour chacun d'eux,

39. — On peut demander en second lieu que Téquilibre ait lieu, quelle que soit la direction des forces. Les équations (2) devront être vérifiées quels que soient a, P, y, ce qui exigç que Ton ait :

On aura, dans ce cas, quatre équations d'équilibre.

Revenons au premier cas, et supposons toutes les forces situées dans un même plan. Voyons ce que deviennent les deux équations (2).

Le plan qui contient les forces aura pour équation :

(3) 2 = wo? 4- ny 4- A

et Ja direction a, P, y étant parallèle à ce plan, on devra avoir ;

^4^ Y = w»a-Hwp.

Séparons les deux équations (2)

remplaçons y, z par leur valeur (3) ; puis tenons compte de V P = 0, et nous aurons :

remplaçons dans ces équations y par sa valeur (4), et il viendra :

Il n'y a donc plus qu'une seule équation (en dehors de 2p=0):

laquelle est indépendante de la position du plan des forces. Si l'axe des y a été pris parallèle aux forces, on aura a = 0, et la condition précédente se réduira à :

Remarque. — Les propositions établies pour la composition des forces parallèles peuvent conduire à des propositions purement géométriques ; nous nous bornerons à en citer un exemple.

Prenons un triangle, ABC, aux sommets duquel sont appliquées des forces P, Q, R; puis cherchons le centre des forces parallèles ;

P et Q ont une résultante appliquée en F, et on a :