Centre de gravité d'un corps non homogène
Voyons quelles formules nous aurons si le corps n'est pas homogène. — Rappelons d'abord que l'on nomme poids spécifique d'une substance homogène le poids de l'unité de volume de cette substance ; on peut dire aussi dans ce cas que le poids spécifique du corps est le rapport du poids d'un volume quelconque du corps à ce volume. Si le corps n'est pas homogène, nous considérerons un petit volume Av
contenant dans son intérieur le point x, y, z; soit AP le poids de ce petit volume ; si rhomogénéité avait lieu, le poids
AP
spécilique serait — ; mais il n'en est pas ainsi; nous
appellerons poids spécifique de la substance au point œ, y, z la limite du rapport — ? quand les dimensions du petit volume diminuent indéfiniment, et nous poserons :
AP
(3) :i = lim. ^ .
Av
Cette quantité sera une fonction de x, y, z, que nous supposerons connue. De la formule (3) on tire, en désignant par € un infiniment petit du premier ordre :
AP = Av (t: -+- e).
Soit Tt un autre infiniment petit du premier ordre, on aura ; et en faisant tendre Av vers zéro :
P z=z I xAv, PiCj = I zxlv.
Nous avons ainsi, pour déterminer a?,, j/„ z,, les formules (4) :
P =111 %dxdydz, Px^ =^ 1 1 j T^xdxdydz^ Pyi= Il / r.ydxdydz, PZj = 1 1 1 T.zdxdydz.
Remarques. — On peut souvent simplifier beaucoup
la recherche du centre 4e gravité d'un solide homogène, à l'aide des remftrques suivantes dont la démonstration ne présente aucune difficulté :
1^ Si la surface du corps est symétrique par rapport à un plan, le centre de gravité est sur ce plan ;
2^ Si la surface du corps admet un plan diamétral, le centre de gravité est dans ce plan;
3° Si la surface du corps a un axe de symétrie, le centre de gravité est sur cet axe ;
¥ Si le corps a un centre de symétrie, ce centre est le centre de gravité.
§ IL — Centre de granité d'une surface ou d'une lignât
45. Supposons qu'un corps s'étende suivant un plan ou suivant une surface courbe, et qu'il ne présente partout qu'une épaisseur extrêmement petite, dans le sens de la normale au plan, ou à la surlace, on pourra faille abstraction de cette épaisseur', et concevoir que toute la matière dont le solide est formé se trouve située sur la surface ; c'est ainsi qu'on est conduit à considérer une surface comme étant matérielle, et par conséquent comme ayant un centre de gravité. Nous supposerons la surfiice homogène; alors dans chacune des équations des moments telle que :
nous pouvons remplacer les poids par les surfaces correspondantes; si d(i) est l'élément de surface au point x, j/, z, S la surface totale, on aura :
Sa?, = I xd
S*, = I zdu), \ Considëi'ons d'abord le cas d'Uhe surface plane ; en prenant
dxdy pour élément de surface, on aura :
, = Il xdxdyA 1 =jj y dxdy,
dxdy.
