B'D~AB A'B
Donc A'D est la bissectrice de * ^ ' l'angle A', et le centre de gi-avité
cherché coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle A'B'C.
53. Arc de cercle. — Soit C le milieu de l'arc AB; le centre de gravité de cet arc sera sur OC; soit x, sa distance au point 0; désignons par s l'arc CM et par S l'arc AB, nous aurons :
Sx,=
]xdt;
r cosô,
2 Ri,
cosOdft
sin 3.
Rsina
Re
en désignant par c la coi-de de l'arc.
54. Ceatre de gravité d'au arc de cycloïde. — Soit OM l'arc dont nous clierchons le centre de gravité; on aura pour le coefficient angulaire de la tangente en un point M :
MP I^UPX PR 'Uf~ QP
en désignant par a le diamètre du cercle générateur; on en déduit :
Fm 5S
ds dx
* Sx^ =/ X — dx=2 j t/ ax dx,
c'est à dire :
On déduit de là :
S = 2 Ka j?, S^, = \x Vax,
Pour déterminer- j/„ nous remarquerons que Ton a : Jy ^ = 2y K^ - 2 J^ Vx dx = îy]/x-- ^/^^ par conséquent :
xdx;
Sy,= 2 y Vax + ^ Va {a — x)* -*- C,
mais pour x=0, y, = 0; donc :
as -, .s
Pour l'arc OA, a; = o; on a alors :
sa
Snrfacef.
55. Parallélogramme. — Le centre de gravité est au centre de la figure.
. Triangle. — Considérons une médiane, et par cette ligne menons un plan perpendiculaire au ti'iangle ; c'est un plan diamétral pour les cordes parallèles au côté correspondant ; il contient donc le centre de gravité qui, devant être en outre dans le plan du triangle, sera sur la médiane. C'est donc le point de concours des médianes.
Remarque. — Le centre de gravité de la surface d'un triangle est le même que celui du système de trois poids égaux dont les centres de gravité sèment situés aux sommet» du triangle.
56. On peut également trouver le centre de gravité d'un triangle par le calcul.
Rapportons . le triangle à deux axes de coordonnées rectangulaires passant par le sommet A, et dont l'un soit parallèle au côté RC.
On aura :
pour AB y =fnXy pour AC y' =2 m'x^
S = J\y^y')dx = Sx,= / {y--y')xdx=-
d'où :
Ih
Le point E, milieu de BC^ a pour coordonnées :
On a donc :
^1 = 3^' yi = 3 y'-
Le centre de gravité se trouve donc en G, aux deux tiers de AE.
57. Centre de gravité d'un secteur circulaire. — Soit un p.^ 37 secteur circulaire AOB, dont T^gle
au centre est 2 a. Nous aurons :
dr cos 6(16 = ^ /
COS 6(f 6
2R' sin a
2R sin CL 2Rc
en désignant par c la corde AB et par l l'arc AB. L'abscisse est les | de celle du centre de gravité de TarcAB;
on peut s'en rendre compte en décomposant le secteur en
secteurs infiniment petits, que Ton peut assimiler à des
petits triangles, dont tous les centres de gravité sont sur
J'arc A' B' tel que A' = f OA. Reste à trouver le centre de
gravité de A'B' ; il est évident que son abscisse sera les f de
celle du centre de gravité de Tare AB.
Centre de gravité du segment de cercle. — On peut le déduire de celui du secteur AOBD et du triangle AOB.
Désignons par :
S la surface du triangle, x l'abscisse de son centre de gravité.
segment, x' secteur, x'
On aura
AB = c,
ADB = /,
