I. Théorème relatif aux surtaces. — Soit ÂB un arc

de courbe de longueur l tournant autour d'un axe Ox situé dans son .

plan, S la surface engendrée, G le centre de gravité de l'arc AB,-!/, l'ordonnée de ce point. On à :

S = iizjy ds,

d'où :

Donc :

La surface engendrée a pour mesure la longueur de Varc AB multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de cet arc.

Remarque. — Si la courbe au lieu de tourner de 2x tourne seulement de l'angle 6, S' désignant la surface engendrée, on aura évidemment :

= ^; par suite : S' = 6 /y,

mais 6y, est l'arc décrit par le centre de gravité. Donc : Si une courbe plane tourne d'un angle quelconque autour d'un axe situé dans son plan, la surface engendrée est égale à la longueur de la courbe multipliée par l'arc décrit par son centre de gravité,

70. II. Théorème relatif aux volumes. — Soit ÂBB'A' une surface plane comprise entre les deux ordonnées AA',

BB' et les deux courbes AB, A'B', dont nous désignerons

par y ei y' les ordonnées correspondant à une même valeur de X. Le centre de gravité de cette surface plane aura son ordonnée déterminée par l'équation :

Sy, = ij^(y«-nrf^.

Le volupae V engendré par cette surface, tournant autour d'un axe Ox situé dans son plan et qui ne le traverse pas, sera :

On a donc :

Ainsi : Le volume engendré par la révolution d'une aire plane autour d'une droite située dans son plan, est égal à Vaire de la surface génératrice, multipliée par la circorir férence que décrit son centre de gravité.

Même remarque que précédemment, si la surface tourne d*un angle 6 au lieu de tourner de ^r..