Exteosion du deuxième théorème de Guldin. — Le

théorème de Guldin relatif aux vo- B lûmes peut être étendu de la manière suivante.

Si une surface plane se transporte dans l'espace, de telle sorte qu'un de ses points reste toujours sur une courbe AB et que son plan demeure normal à la courbe, le solide engendré par ^mouvement de cette surface aura pour mesure l'aire de la surface multipliée par la courbe que décrit son centre de gravité.

En effet, considérons deux points infiniment voisins M et M' de la courbe ; le plan osculateur de la courbe en M est coupé par les deux positions consécutives du plan de la courbe mobile suivant les droites MO, M'O. est le centre de courbure en M; les deux plans se coupent suivant une droite passant par le point et perpendiculaire au plan osculateur en M ; cette droite est Taxe du cercle osculateur. On pourra imaginer que la courbe tourne autour de cette droite de l'angle infiniment petit MO M', pour passer de la première position à la seconde. Alors le théorème de Guldin relatif au volume engendré est applicable ; il le sera encore quand on passera de M' en M", etc. Le théorème est donc démontré.

72. Volume du cylindre tronqué. — Le volume d'un cylindre tronqué dont la base est sur le plan des xy et les arêtes perpendiculaires à cette base est exprimé par :

V = 1 1 z dx dy.

Soit ? Tangle de la base supérieure avec la base inférieure ; les éléments de Taire de la base supérieure sont :

1 aire totale sera :

CCS 9 ' cos ç '

A. désignant Taire de la base inférieure.

Si donc z, est Tôrdonnée du centre de gravité de la base

supérieure, on aura :

COS ç

ainsi :

V = Az,,

Donc : le volume est égal à la base multipliée par la distance à cette base du centre de gravité de la base supérieure.

73. Remarque» — La projection du point G est le point G', centre de gravité de la base inférieure; on a en eflet :

cos 9 ou bien :

f^fxdxdy

cos 9 '

cos 9

y dx dy ces© '

Fio 43

Aa?, =^i\xdx dy; ky^ =: l ly dx dy.

2 On trouve donc pour a?, et t/i

les valeurs mêmes auxquelles on est conduit en cherchant le centre de gravité de la base inférieure. Ainsi les centres X de gravité des sections planes faites dans un cylindre, sont tous sur une même parallèle aux génératrices.