On peut en conclure que

Le volume d'un cylindre tronqué quelconque est égal à

Vaire d'une section droite multipliée par ^ la distance G G' des centres de gravité des

bases. Soit AB la section droite du cylindre. On D aura :

vol. ABEF = surf. AB X 6'G; vol. ABCD = surf. AB X G'G";

B et par conséquent :

vol. CDEF = surf. AB X 6G'.

§ V. — Quelques propriétés du centre de gravité.

75. Problème. — Soient M', M', M""... les centres de gravité de plusieurs corps, de poids p', jp", p"... dont la

somme est P, A un point au(iuel on applique des forces dirigées suivant les droites AM', AM', AlVr et égales respectivement à : p'AM', p'AM", p'^AM^... On demande de prouver : 4° que la résultante des forces passe par un point fixe, quel que soit le point A ; 2** de trouver ce point fixe ; 3° de donner une expression simple de la résultante. Soient :

x\y', z' les coordonnées de M' x\ y\ 2' — de M'

a, p, Y — de A

Décomposons chacune des forces en trois autres parallèles à OXj Oy, Oz; la composante parallèle à Ox de la force dirigée suivant AM' sera :

y. AM' X cos (AM', X) = p\ AM' ^-^,-^ =p' («' - a).

Soient : X, Y, Z les composantes de la résultante; on aura :

Or, si co^, j/j, r, désignent les coordonnées du centre de gravité des corps M', M'... on a :

^Fx'=Vx,; 2P'y'=Py,; ^Pz'=Ps,,

On peut donc écrire :

(1) X = ?{x,^oi); Y = P(y,-3); Z = ?{z,^^),

et les équations de la résultante seront :

Debpbyrous. — Mécaniqxi^, 5

On voit que celle résultanle passe constamment par le centre de gravité G {x^, y„ z,) quels que soient a, 3, i, c'est à dire quel que soit le point Â. Désignons par R celte résultante,

ou par les équations (1) :

- (:, - y)» = P X AG.

Dans le cas où le point A coïncide avec le point G, on a le Ihéorème de Leibnilz :

Si on applique aiipoint G des forces dirigées suivant GM', GM'... etêgalesreBpecliveme7itàp'GU',p'GM.'... toutes œs forces se font équilibre.

76. Applications. — Il y a équilibre entre trois forces appliquées au centre de gravité d'un triangle et re[)résentées

, en grandeur et en direction par les droites qui vont de ce point aux trois sommets.

Il y a équilibre entre quatre forces appliquées au centre de gi'avité d'un tétraèdre et représentées en grandeur et en direction par les droites qui vont de ce point aux quatre sommets.

77. Propriété remarquable du centre de gravité d'un système de points matériels

e 62 ^ pesants. — Soient : les corps

•'* M, M', M'... dont les poids

p, p\ p'... ont une somme P,

'' •*" G leur centre de gravité, O un

^ point quelconque. Posons :

OM=r, OM'

= r', OM' = r'... OG=l rf,„= MM'... rf,„ = M'M"

On a, en dénignant par X, -Y, Z les coordonnées du point G :

PX =pa? 4- jfî'o?' 4- pV + ...

PY=py-+-p'y' H-pV + ...

PZ =pz -hp'z^ +pV M- ...

d'où:

(l)P*R*=p*r*-+-p'»r'* + p'*r'* ... +2pp' {xx' +yy' +zz'),

+ 2 pp' tea?' + yy* + -îs' ), + 2py (jj'a?" + y'y' + :r'2'),

Oi*, on a aussi :

d^*,^ = r* 4-r" — 2(vca;' + yy' 4-;:-'), doSi = ''* -♦- r'* — 2 (xj?" 4- yy' + -5' ), d^\^ = r'^ 4- r'* — 2 (a?'y 4- y' y' 4- ;:'5''),

On peut tirer de là les valeurs des quantités xx' + yy' + zz' .., et les porter dans (1); on trouvera:

FR» = P (pr* 4- p'r^* + pV* 4- ...) - W d,\, 4- pp' do*,.