On peut d'abord remplacer les deux couples par
t.-R deux équivalents (P, — P), (Qj — Q) ayant un même bras de levier AB dirigé suivant l'intersection des deux plans, et ayant des moments égaux à ceux des couples donnés.
Les forces P et Q se composeront en une seule R; il en est de môme des forces — P, — Q qui se composeront en une seule — R.
Les deux couples donnés seront donc remplacés par le couple (R, — R). . .
Les moments des trois couples sont :
PXAB; QXAB; R X AB.
Us sont donc entre eux comme P, Q, R.
Donc :
Si Von mène dans les plans de deux couples donnés deux droites AP, AQ perpendiculaires à V intersection de ces plans et proportionnelles aux moments de ces couples^ la diagonale AR dw parallélogramme construit sur AP ^/ AQ représentera en grandeur le moment du couple réèultant, dont le plan passera par cette diagonale et par Vintersection des plans des deux couples donnés.
On pourra donc toujours réduire à un seul tant de couples que Ton voudra agissant sur un corps, en les composant deux à deux.
83. Réciproquement. — On peut toujours décomposer un couple en deux autres situés dans des plans donnés, pouiTu que ces plans et celui du couple proposé se rencontrent suivant une même droite, ou suivant des droites parallèles.
Soient en effet DAH le plan du couple donné, CAH et
BAH les plans qui doivent contenir les couples composants; menons dans ces trois plans les droites AB, AC, AD perpendiculaires à AU; prenons AD égal au moment du couple donné, et construisons le parallélogramme ABGD; A G et AB seront les moments fies couples composants, lesquels couples seront dès lors déterminés .
On peut encore opérer comme il suit :
74 COURS DE MÉGANIQUE.
Soit OH l'intersection de nos trois plans; menons un plan „ quelconque qui coupe ces plans
suivant les droites OX, OY, OU; nous pourrons tourner le couple donné dans son plan de manière que Tune des forces P soit dirigée suivant OH, alors l'autre force rencontrera OU en D, construisant le parallélogramme OABD.
Appliquons en B deux forces égales et contraires P*, -^ P, ce qui ne change rien. Alors, nous avons le couple (P, — P) appliqué suivant B 0, et le couple (P, — P) appliqué suivant BD. Ce dernier couple peut ôtre transporté parallèlement à lui-môme dans le plan H X, et on peut lui donner pour bras de levier A ; les deux couples composants seront donc appliqués, l'un sur OA, l'autre sur OB, et la décomposition est faite. Si le plan XOY a été mené perpendiculaire à OH, les lignes A, OB, OD seront proportionnelles aux moments des couples, et on a une nouvelle démonstration du théorème relatif à la composition des couples.
Expression plus simple des théorèmes qui concernent
la compoBition des couples.
