On peut faire connaître entièrement tout ce qu'il est

nécessaire de connaître dans un couple, en opérant comme il suit : Soit AB le bras de levier d'un couple situé dans le plan MN; élevons au point A une perpendiculaire à ce plan, et portons sur cette perpendiculaire une longueur AI égale au

moment du couple; cette quantité AI, envisagée tant au

Fig 59

point de vue de la direction que de la grandeur, sera dite Taxe du couple. Il reste encore à déterminer de quel côté du plan MN la perpendiculaire doit être élevée; nous la mènerons d'un côté tel que : pour un observateur couché le long de AI, les pieds en A, la tête en I, le couple tende à faire tourner son bras de levier A B autour du point A, dans un sens déterminé, dans le sens direct par exemple. Il est visible que, quand la quantité géométrique Al sera donnée, le couple sera entièrement déterminé, pour son plan, son sens et son moment. Enfin la quantité AI peut être transportée parallèlement à elle-même où on voudra. Quand on aura à s'occuper de plusieurs couples, on mènera les axes de ces couples à partir d'un môme point, d'ailleurs arbitraire.

La considération des axes des couples rend les énoncés relatifs à la composition des couples entièrement semblables a ceux qui se rapportent à la composition des forces. On voit d'abord que :

Pour composer des couples dont les axes sont parallèles, il suffit de transporter en un môme point tous ces axes qui sont alors en ligne droite, de faire la somme de tous ceux qui sont du môme côté de l'origine commune, et de retrancher la plus petite somme de la plus grande ; ce qui restera représentera en grandeur l'axe du couple résultant, dont la direction sera celle de la plus grande somme.

On peut simplifier encore cet énoncé et considérer comme positifs les axes dirigés dans un sens, comme négatifs ceux dirigés en sens contraire, et dire que Taxe du couple résultant est représenté en grandeur et en direction par la somme algébrique des axes des couples composants.

La composition des couples dans ce cas est donc identique â celle des forces agissant suivant la même droite.

85* Supposons maintenant que les deux couples ne soient pas dans le même plan.

Soient les deux couples donnés (P, — P), (P',

fig 60-

ayant le couple (R, — R) pour couple résultant; menons au

point A un plan perpendicup ,' I .^ laire sur AB, et dans ce plan faisons tourner le parallélogramme APRP' d'un angle de 90«, il viendra en A DEC; les droites A C, AD, A E seront les axes des couples, car 1® ces droites sont pei'pendiculaires aux plans des couples; 2® ces axes sont dirigés dans le sens convenable ; il aura suffi en effet de faire tourner de 90® dans un sens tel qu'un observateur placé suivant AD, les pieds en A, la tête en D, voie le couple (P, — P) faire tourner dans le sens direct; alors il en sera de même pour les deux autres axes; 3^ les longueurs AD, AG, AE sont proportionnelles aux moments des couples, car elles sont égales à AP, AP', AR qui sont ellesmêmes proportionnelles à ces moments. On peut donc dire que :

Deux couples situés dans des plans différents se composent en un seul dont Vaxe est représenté en grandeur y direction et sens par la diagonale du parallélogramme construit sur leurs axes.

86. Pour composer autant de couples qu'on voudra, on aura des théorèmes tout à fait analogues à ceux qui concernent les forces ; nous signalerons particulièrement le suivant à cause de l'usage que nous en ferons.

Trots couples dont les axes sont représentés en grandeur et en direction par les trois arêtes contiguës d'un parallélipipède, se composent en un seul dont Vaxe a pour grandeur j direction et sens la diagonale de ce parallélipipède.

Lorsque le parallélipipede est rectangulaire, en appelant G Taxe du couple résultant, L, M, N les axes des couples composants, X, [i., v les angles que Taxe G fait avec les axes coordonnées, on a :

L = G cos X; M = G cos (ji.; N == G cos v.

cos A = — ==z== ; cos [i. =

|/L* + M» + N» Kl* + m* + N* '

cos V

yv-hW-^ N

JI

On trouvera de même les expressions analytiques du moment du couple résultant, et des angles que fait son axe avec ti'ois directions rectangulaires, lorsque les couples composants seront en nombre quelconque.

87. Conditions d'équilibre des couples. — Si les couples sont situés dans des plans parallèles, la condition nécessaire et suffisante pour leur équilibre est que la somme algébrique (le leurs moments soit nulle.

Si les axes des couples ne sont pas pamllèles, il faudra, d'après l'identité de la composition des axes avec celle des couples, que les sommes algébriques des projections des axes sur trois droites formant un angle trièdre soient nulles séparément.

Si tous les axes sont dans un même plan, il suffira que les sommes algébriques des projections de ces axes soient nulles relativement à deux droites non parallèles situées dans ce plan; dans ce cas, les plans de tous ces couples sont perpendiculaires à un même plan.