Remarque. — Lorsque la force R n'est pas parallèle
au plan du couple G, — G, il n'y a jamais de résultante unique ; seulement on peut, en transportant le couple G, — G parallèlement à lui-môme, amener la force G à rencontrer R; alors R et G ont une résultante T, et toutes les forces du système sont réduites à deux autres, T et — G, non situées dans le même plan.
Cette réduction peut avoir lieu, d'une infinité de manières, en déplaçant le point A sur la force R, et môme, sans déplacer le point A, en tournant le couple dans son plan et même en le transformant en un autre équivalent. Nous verrons plus tard ce qu'ont de commun tous ces systèmes de deux forces auxquels on peut toujours réduire le système proposé.
STATIQUK. 81
§ II. — Expressions analytiques des conditions d'équilibre j et de la résultante lorsqu'elle existe.
Nous allons résoudre plusieurs questions simples avant d'aborder le problème général.
91. Équilibre des forces parallèles situées dans le même plan. — Soit P Tune des forces. Transportons chacune des forces P en un point quelconque du plan en ajoutant un couple. La somme algébrique des forces devant être nulle ainsi que la somme algébrique des moments des couples, nous aurons les deux équations d'équilibre :
p désignant le bras de levier de Tun des couples. On peut donc dire que :
La somme algébrique des forces doit être nulle, ainsi que la somme algébrique de leurs moments, par rapport à un point quelconque du plan.
92. Remarque. — Si les forces ne se font pas équilibre, elles se réduiront à une force et à un couple qui, étant situés dans un même plan, auront une résultante unique. Soit R la résultante, r sa distance au point affecté du signe convenable ; la force — R appliquée au même point devra tenir toutes les auti^es en équilibre ; on auia donc, d'après ce qui précède :
P +F + ... -R r=0, Py +Py + ... — Rr=:0;
d'où :
Rrz=py 4-py + ...
Ces formules déterminent la grandeur et la position de la résultante.
Despeyrous. — Mécanique. 6
82 COUKS DE HéCiUflQUE.
Si la force R était nulle, le système se réduirait à un couple et n'âUrait pas de rësultailte.
93. Équilibre des forces parallèles non situées dans un mflme plan. — Je mène deux plans parallèles aux forces, et un ti"oisième qui coupe les deux premiers suivant deux droites Oor, Oy\ l'intersection des deux plans sera la droite Os parai- ^j^ . lèle aux forces.
r^C^ ^^■^ Soit A'P' l'une des fol'ces; je
' ^"\p| mène par A' un plan parallèle au '• I plan «îOy qui coupe OZ en I, et je
construis le parîdlélogramme A'BIG dont les côtés sont parallèles à Ox et Oy. Je peux transporter la force P' en I en introduisant le couple (P', — P') appliqué suivant A'I; on sait que ce couple peut se décomposer en deux autres ayant les mêmes forces P', — P', et appliqués suivant IB et IC; les moments de ces couples sout, en désignant par x' et y' les deux coordonnées du point A' parallèles aux axes Ox, Oy :
V X IB sin <g, s) = P'ff' sin (y, 2).
P" X IC sin (ar, s) = P'x' sin (a-, z).
On aura donc en définitive :
i" la force: 2^' agissant suivant OZ;
2" le couple : sin xs V f'x' agissant dans le plan ZOx ; 3" le couple : sin yz V P'ij' agissant dans le plan ZOy.
Ces deux derniers couples se composeront en un seul qui devra ôli-e mil, et qui ne pourra l'ôlre que si les deux couples composants le sont. Ainsi les trois conditions
d'équilibre sont :
Vf=0; 2p'^'=<>' ^Py'=o,
qu'il est facile de traduire en langage ordinaire.
Remarque. — Si les forces ne se font pas équilibre, elles auront en général une résultante uni(iue R pour laquelle a; et y deviendront a?j et y^, et Ton aura :
