Équilibre des forces agissant dans un plan. — La
force et le moment du couple auxquels on peut réduire toutes les forces devront être séparément nuls. On devra donc avoir les deux équations :
R = 0; 2py=0.
L'équation R = se décompose en deux autres :
Si ces conditions ont lieu relativement à un point particulier et à deux directions spéciales, l'équilibre a lieu, et les mêmes conditions auront Heu par rapport à tous les points et à tous les axes possibles pris dans le plan des forces. Dans l'équation :
il faudra distinguer les moments des forces qui agissent dans an sens, d'avec les moments de celles ([ui agissent en sens contraire, et leur donner des signes différents; mais on peut xnettre cette condition sous une autre forme où les signes s'introduiront d'eux-mêmes.
Avant de transporter chaque force au point 0, décomposons-la en deux autres, a^jissaut suivant des parallèles à Oo; et Oy, et transportons séparément les deux composantes,
Nous aurons, pour les moments des couples avec leurs
— y'X' sin (x,y).
Le moment du couple résultant sera donc :
On aura donc les trois équations d'équilibre :
s le cas où les axes Ox, Oy sont rectangulaires, lésignant les intensités des forces par P', P'.. . (quantités, l'on regardera comme essentiellement positives), par '... les angles que font les directions des forces avec Ox;' équations deviendront :
l'-O, ^P'siD
2 P' («' sin a' — y' cos a') .
5. ExEncicEs. — -i" Des forces sont appliquées aux mi- V des côtés d'un polygone convexe, perpendiculairement à ôlés. Ces forces sont proportionnelles aux côtés. Démonqu'elles se font équilibre. (Ces forces sont supposées toutes dirigées soit vers l'intérieur du polygone, soit vers l'extérieur.) Prenons deux axes rectangulaires; soit a, l'angle de M„M,+ , avecOx; celui de P, sera a.-)- 90°, et l'on aura :
ff.+ i — jr. = c.sina..
*||4.1 — ICll = c,
la longueur M.M,+,,
On aura en outre :
X, = P» cos (a, + 90^) = — P. sin a, = — K {y^^i — y„), Y, = F» sin («„ + 90°) == P. cos a, = K (a?^+i — a?„).
On a évidemment :
donc déjà :
Reste à voir si la troisième condition d'équilibre, celle des moments, est satisfaite.
Or:
2 (y'«+i - »"«) = 0; 2 (^'h-hi - a;%) = 0; donc :
Ainsi les trois conditions de l'éfiuilibre sont vérifiées ; donc l'équilibre existe.
96. 2® Considérons le même polygone. A chaque sommet nous appliquons une force dirigée suivant l'un des côtés qui aboutit à ce sommet, et proportionnelle à la longueur de ce côté, en allant toujours dans le même sens. Démontrer que ces forces ne se font pas équilibre^ mais se réduisent à un couple:
On a :
P^ z= KCny Xn = P» cos «H, y; = P« sin a„.
fne dans le problème précédent :
jrame des moments des forces relativement à un point leur est :
y] P,p, = aire du polygone X 2K; st donc différente de zéro.
Développemeat des équations de l'équilibre dans le cas général.
'. Nous supposerons, pour plus de généralité, les axes ues, et nous prendrons pour origine le point arbitraire O tus transportons les forces.
ient P l'une des forces appliquées au solide, A son point lication, x, y, z les coordonnées de ce point, X, Y, Z les osantes de la force P suivant des parallèles à Ox, Os menées par le point A. Au lieu de transporter rce P au point 0, nous allons transporter successint ses trois composantes. Nous regarderons comme if le moment d'un couple situé dans le plan xOy, u'il tendra à faire tourner son bras de levier de x y, les couples situés dans les plans des yz et des zx it de même considérés comme ayant des moments positifs quand ils tendi'ont à faire tourner leurs bras de levier de y vers z et de i
IN vers X. Nous nous occuperons d'abord de ce qui arrive y pour l'une des composantes, AP = Z par exemple.
Supposons d'abord x, y, z positifs; soit OB Yx du point A; en B et appli- 9 respectivement deux forces + Z et — Z, égales et
de sens contraires à la composante Z appliquée en A; ces forces BD et BE d'une part, OH et OF de l'autre, se détruisant mutuellement, ne produisent aucun effet sur le corps solide. Les forces BE et AP forment un couple dont le plan est parallèle à j/Oz, et qu'on peut transporter parallèlement à lui-même dans le plan yOz] BDetOF forment un autre couple situé dans le plan zOx; enfin OH est la force AP transportée parallèlement à elle-même au point 0. On voit qu'on a pu opérer ce transport en faisant intervenir deux couples agissant dans le plan yOz et xOz, Si on avait fait directement le transport, on aurait eu le couple (AP, F) ; ce couple est le couple résultant des deux premiers.
Le couple (BE, AP), transporté parallèlement à lui-même dans le plan des yr, devient le couple (OF, MN) et gon moment est :
Z X OM sin yOz = Zy sin yOz.
Le moment du couple (BD, OF) est :
Z X OB sin zOx = Ix sin zÇS^\
mais on doit lui donner le signe — d'après nos conventions. Ainsi la force Z étant transportée parallèlement à elle-même en 0, donne lieu à deux couples :
ZysinyO^; agissant dans le plan y^z^
— Za?sîn^0a5 -^ zQx,
Nous déduisons de là, par de simples permutations de lettres, que la force X transportée parallèlement à elle-même au point donne lieu à deux couples :
H- \z m zOçs agîsaant dans le plan zOx,
Y donne enfin les dçux couples :
+ Ya?.8in xOy agissant dans le plan xOy,
— YzsinyOz — yOz.
On peut ajouter les moments des couples qui agissent dans un même plan et on arrive à cette conclusion :
La force P donne lieu :
1*^ A trois forces X, Y, Z appliquées au point et dirigées suivant Ox, Oy, Oz ;
2** A trois couples agissant dans les trois plans coordonnés et ayant pour moments respectifs :
(yZ — zY) sin yOz, {zX — xTjsinzOx, (xY—yX)sinxOy.
Il faut remarquer que, quand on fait la permutation des lettres, le sens direct qui était de x vers y, devient de y vers z, puis de z vers x.
Si l'on opère de même pour toutes les forces appliquées au corps solide, on voit que ces forces peuvent être réduites :
A trois forces appliquées au point 0, dirigées suivant les axes Oxy Oy, Oz et ayant pour intensités respectives :
Sx, 2 Y, 2 Z;
Et à trois couples agissant dans chacun des plans coordonnés, et ayant pour moments respectifs :
^ sin yOz 2 (yZ - Zy), sin zOx 2 (2:X — a?Z), sin xOy ^ (ojY— yX).
Les trois forces se composent en une force unique R, et les trois couples en un couple unique (G, — G). Pour l'équilibre il faut et il suffit que : la force R soit nullCj ainsi que le couple (G, — G). Cela donne les six équations d'équilibre :
&)^yZ — zX = 0, ^zX — xZ = 0, ^xY^y\=:0,
Dans le cas où les axes sont rectangulaires, désignons par a, 3, Y les angles que fait avec les axes la direction de la force P, on a :
X = P cos a, Y = P cos 3, Z = P cos y,
et les six équations de Téqûilibre pourront s'écrire :
2 P cos a = 0; 2 P cos 3 = 0; ^ P cos y = 0; (3) \ ^P (y cos Y — ;:cos3) = 0; ^P (:rcos a — a? cos y) = 0;
y] P (a? cos 3 — y cos a) = 0.
98. 1** Remarque. — Dans la démonstration précédente nous avons supposé, pour fixer les idées :
et nous avons vu que dans ces conditions le moment du couple (0 F, M N) était:
Zy sin yOz.
Il est aisé de voir que cela a lieu dans tous les cas ; en effet si Z est négatif y étant positif, il est visible que le moment du couple qui doit remplacer (OF, MN) {fig. 68) est négatif; or, il en est de même de Texpression Zy sin yOz, De même Z étant positif et y négatif, le moment du couple qui remplace (OF, MN) doit être négatif, et il en est bien ainsi de l'expressionZj/ sin j/Oz; on en dirait autant du couple (BD,OF). Donc nos formules ont lieu quels que soient les signes des quantités X, Y, Z; x^ j/, z] elles sont donc générales.
99. 2** Remarque. — Si l'on projette les forces et les points d'application sur chacun des plans coordonnés, on pourra dire que :
Pour l'équilibre, il faut et il suffit que les forces projetées se fassent équilibre sur chacun des plans coordonnés, et réciproquement.
100. Recherche de la résultante nnîqae dans le cas où elle existe. — Soient : X', Y', Z';X', Y*, Z';... les composantes des forces données suivant trois directions rectai^laires ou obliques, X„ Y„ Z, celles de la résultante si elle existe,
et x„^y„ z, les coordonnées de son point d'application. Les six équations de l'équilibre devront avoir lieu, si aux forces données on ajoute une force égale et contraire à la résultante. On aura donc, en posant :
2 X' = X, 2 "^' ^ ^' 2 ^' = ^' les six équations :
2 ty'Z' --'Y') - (ff.z. -2.Y.) = 0,
2 (2'X' — x'Z') — (;.X, —x,Z,) = 0, 2(a^Y'-j'X')-Ca;.Y.~y,X,) = 0; ou bien, en posant :
(1) X, -X = 0, Y, — Y=iO, Z, — Z = 0;
(2) y,Z. — z,Y, =L, s,X. — »,Z, =:M, ar.Y, ~ y,X, = N.
pour qu'il y ait équilibre, il est nécessaire qu'on puisse satisfaire à ces six équations par des valeurs convenables de X„ Y„ Z„ x„ y„ z,. Les équations (1) donnent d'abord
X, = X, Y, = Y, Z, = Z, ce qui exprime que : Le» composante» de la résultante suivant les cweg sont les tommes algébriques des composantes des forces données.
Les équations (3) feront connaître a;,, y„ z„ mais elles ne seront pas toujours compatibles. On en déduit en effet : LX, -hMY. + NZ, =0,
OU
(3) LX-hMY + NZ = 0,
équation entre des quantités données, et qui est une condition nécessaire pour la possibilité de l'équilibre. Elle serait insignifiante si les trois quantités X, Y, Z étaient nulles; roais alors. les équations (2) donneront :
et le système serait en équilibre avec une résultante nulle.
Ce cas écarté et la condition (3) étant supposée remplie, les équations (2) se réduisent à deux; elles ne peuvent faire connaître a?„ y„ z^ toutes les trois; les équations (2) étant du premier degré en a?„ j/„ z„ sont celles d'une droite dont tous les points pourront être pris comme points d'application de la résultante ; ce sont les équations de cette résultante.
101 . Comme on a démontré que la condition pour que les forces aient une résultante unique, est que la résultante des forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un môme point soit parallèle au plan du couple résultant, il s'ensuit que l'équation (3) doit exprimer cette condition. C'est ce qu'on vérifie immédiatement dans le cas des axes rectangulaires. Car alors, X, Y, Z sont proportionnels aux cosinus des angles que la résultante de translation fait avec les axes ; L, M, N le sont aux cosinus des angles que fait l'axe du couple résultant, et l'équation (3) exprime que la résultante est perpendiculaire à l'axe du couple résultant, et par conséquent parallèle à son plan. Dans le cas des axes obliques, il est moins facile de reconnaître cette signification (*) de l'équation (3).
(*) BvHMŒL. — Des fîéthodes dans les sciences de raisonnement, 4« partie, ' pages 71-75.
WJ courts DE MKCANIQCE.
§ III. — Théorie des moments. — hlentiii avec les couples.
102. Interprétation des trois dernières équations de 'équilibre. — Dans le cas où les axes sont rectangulaires, les rois dernières équations de l'équilibre peuvent être interprétées de la manière suivante :
Soit A un point quelconque de la direction de la force P jue nous considérerons comme le point d'application de la 1 force; par ce point menons un
? °- t n i' plan perpendiculaire sur O:, ren-
contrant cette droite au point I.
Décomposons la force P en deux autres : l'une AB parallèle à O^, l'autre Q z= AC dans le plan que nous venons de mener. On nomme :
•^ Moment de la force P par
'apport à Os le moment de la force Q par rapport au ioint I. Si l'on décompose la force Q en deux autres X, Y laissant parallèlement à Oa; et Oy, on a, comme nous 'avons déjà vu :
Mom. Q — mom. X + mom. Y, mora. X — — yX, mom. Y = H- icY;
mom. P relat. à 0: — œY — yX.
Les trois dernières équations de l'équilibre expriment donc fue :
Les aommes algébriques des moments de toutes les forces par •apport à trois axes rectangulaires sont nulles séparément.
On peut remarquer que la distance du point I à la force Q l'est autre chose que la distance du point I au plan mené par
la force P parallèlement à OZ; c'est donc la plus courte distance de la force P à cet axe. De sorte que : Le moment d'une force par rapport à un axe est le produit de la plus courte distance de ces deux droites^ par la composante de cette force perpendiculaire à Vaxe.
Si Y désigne l'angle de la force P avec Or, le moment sera en valeur absolue (*) :
Pp sin Y,
p désignant la plus courte distance de la force et de Taxe.
Si les axes sont rectangulaires et si p', q' ^r' désignent les plus courtes distances de la force P aux trois axes, les six équations de l'équilibre pourront s'écrire :
2 P' cos a' = 0, 2 P' cos &' = 0, 2 F cos y' = 0.
2P>'sina'=:0,
2 P' q' sin P' = 0,
2 P' r' sin y' = 0.
les termes tels que Vp' sin a' ayant des signes convenables.
L'équation V P' r' sin y'
= peut être interprétée géométriquement de la manière suivante :
On peut la mettre sous la forme :
2 P' i ^' sin y' = 0, l désignant une longueur quel-
(1) D'après ce qui a été dit dés moments relativement à un point, on verra qu'on a la règle suivante pour déterminer le moment d'une force AP relativement à un axe Or. On supposera que tout le corps solide, le point A compris, soit attaché à l'axe Oz, autour duquel il ne puisse que tourner; alors la force tendra à faire tourner le corps dans un sens ou dans Tautre. Dans le premier cas on donnera au moment le signe -f-, et le signe — dans le cits contraire.
Ije moment Pp sin y ne peut s annuler que si y =0, alors la force est parallèle â Taxe ' oti p = 0, alors la force rencontre Taxe. On ^-oit que dans les deux cas la force et Taxe sont dans un même plan.
94 COURS DE UÉCAZVIQUE.
conque MN portée sur Oz. Or, un théorème de géométrie nous apprend que le volume d'un tétraèdre construit sur deux droites MN, A'P' est ^1 au J du produit de ces deux arêtes par le sinus de leur an^e et leur plus courte distance ; donc :
P' r' siû -i' =- vol. tétraèd. MN A'P*.
On peut donc dire que ;
Si sur les axes on prend trois segments quelconques, les sommes algébriques des volumes des tétraèdres construits sur chacun de ces trois segments et les forces dotinées comme arêtes opposées seront nulles ^parement. — Le signe du volume de chaque tétraèdre se déterminera comme le signe du moment de la force A'P' relatif à l'axe Oz.
103. Remarque. — Si l'on transporte la force AP en un point fiuelconque de l'axe Or, on aura un couple résultant de ce transport; nous avons vu que la projection de l'axe de ce couple sur 0- est égale en grandeur et en £igne à
«Y-yX.
On peut donc dire que ;
Le moment d'une, force par rapport à une droite quelconque est égal à l'axe du couple résultant du tranqyort de cette force en U7i point quelconque de cette droite, projeté sur la direction de cette dernière.
A cause de l'importance de ce théorème, nous allons en donner une démonstration directe.
104- Transportons la force AP au point I; nous aurons un certain couple K {fig. 69). Or, on peut transporter d'abord la composante AB, ce qui donnera uii couple K', puis la composante AC, ce qui donnera un couple K'. On a donc :
proj, axe de K sur Oz — somme proj. axes de K' el K' sur Os.
6TATIQUK. 95
Or:
proj» axe de K' sur Oi = 0, proj. jxe de K' sur Oz = mom. de K' = Qr;
donc :
Qf = proj. de l'aie de K sur Oz.
Si Ton a plusieurs forces et qu*on fasse pour chacune une décomposition analogue, en prenant le même point de la droite pour toutes les forces, la somme des moments des forces relativement à Oz sera égale à la somme des projections sur Oz des axes des couples provenant du transport de chacune des forces au point ; or, la somme de ces projections est égale à la projection de Taxe du couple résultant. Donc :
Théorème. — Le moment <Vun système de forces par rapport à une droite quelconque s'ohtient en projetant sur cette direction Vaxe du couple résuUaîit du transport des forces en un point quelconque de cette droite.
On voit que cette dernière projection doit êti*e constante, bien que Taxe du couple résultant puisse varier, quand on déplace sur la droite le point où Ton transporte les forces.
105. En partant de là, on peut trouver ce que deviennent les trois dernières conditions d'équilibre, lorsque les axes sont obliques.
Soient Ox, Oj/, Oz ces trois axes, G le moment du couple résultant, lorsqu'on transporte toutes les forces au point ; les sommes des moments des forces relativement à chacun , des trois axes seront respectivement :
G cos (G, x) ; G ces (G, y) ; G ces (G, -),
elles seront nulles, si Téquilibre a lieu. — Si ces trois quantités sont nulles, on aura G ^= 0, car les trois cosintis ne peuvent être nuls en même temps.
On a donc ce théorème :
Pour que des forces en nombre quelconque se fassent équilibre sur un solide invariable , il faut et 41 suffit, relativement à trois axes obliques Ox, 0?/, Oz, que la somme algébrique des composantes des forces suivant chaque axe soit nulle, et que la somme algébrique de leurs moments par rapport à chacun des axes soit nulle séparément.
106. Équilibre de trois forces. — Soit A'B une droite rencontrant deux des forces P' et P' ; la somme des moments
des trois forces par rapport à cette di'oite devra être nulle ; les moments de P' et P' sont nuls d'eux-mêmes; celui de P devra être nul; donc P rencontre A'B ou lui est parallèle.
On démontrera la même chose pour une nouvelle droite quelconque telle que A' G. On voit donc que la force P doit être tout entière dans le plan mené par P' et le point A' ; P et P' sont dans un même plan qui, devant contenir en outre un point quelconque A' de la force P', la contient tout entière; donc les trois forces doivent être dans un même plan.
Si les forces P et P' ne sont pas parallèles, mais se coupent en un point 0, la force P' (pii est égale et opposée à la résultante de P et P' ira passer par ce point, et on a, comme on Ta déjà vu, les relations :
sin(P',F) sin(P, F) sln(P, P')'
qui constituent alors les conditions d'équilibre.
Si les forces sont parallèles, on aura les relations : P P' P'
On déduit de là immédiatement que deux forces non situées dans le même plan n'ont pas de résultante.
