Équilibre de quatre forces

— Lorsque quatre forces appliquées à un solide invariable se font équilibre, ces forces sont situées sur une ^' surface réglée du second ordre.

Soient les forces P, P', P", P"', il y a une infinité de droites D, D', D',... rencontrant trois des forces P, P', P'; le lieu de la droite D est une surface du second ordre (hyperboloïde à une nappe, ou paraboloïde hyperbolique). La somme des moments des quatre forces relativement à chaque droite D doit être nulle; or les moments de P, P', P' sont nuls, donc relativement à chaque droite D le moment de P*' doit être nul. La force P''' doit donc rencontrer chaque droite D ou lui être parallèle, et comme elle ne peut être parallèle à toutes les droites D, elle doit les rencontrer toutes. Les quatre forces P, P', P', F" sont donc des génératrices d'un même système de la surface S.

La surface sera généralement un hyperboloïde à une nappe, elle sera un paraboloïde si trois des quatre forces sont parallèles à un même plan.

108. Somme des moments des forces par rapport aux droites qui passent en un môme point. — Le transport de toutes les forces en ce point donne lieu à un couple résultant ; et son axe projeté sur une droite quelconque passant par ce point, donnant la mesure du moment du système des forces

Despeyrous. — Mécanique. 7

données retativement à cette droite, il en résulte les conséquences suivantes :

La droite menée suivant l'axe du couple résultant donne le moment maximum.

Toutes les droites qui font le même angle avec l'axe de ce couple donnent des moments égaux.

Toutes les droites situées dans le plan perpendiculaire à cet axe donnent des moments nuls.

Nous nous occuperons plus loin de la compai-aison des moments maxima relatifs à difTérents points; nous allons faire connaître auparavant quelques théorèmes détachés.

109. Théorème. — Si l'on considère une force AP et un axe indéfini OZ, sur lequel on porte un segment MN, le moment de la force AP relativement à l'axe OZ sera égal à ■J-. six fois le volume du tétraèdre

° construit sur MN et AP comme

arêtes opposées divisé par MN.

Par le point A, je mène un plan perpendiculaire à OZ, rencontrant cette droite en I. Soit AC la projection de la force AP sur ce plan, je suppose d'abord que le segment porté sur OZ commence en I, et ait pour longueur IK. Le tétraèdre construit sur IK et AP est équivalent à celui construit sur IK et AC, et ce dernier a pour mesure :

J IK X surf. Aie = 1 IK X AC X IH = i IK X mom. force AP

relaltv. à OZ.

r . n 1 . A «7 6 vol. tétraèd. (IK, AP) mom. force A P relat. à OZ — ^v — ^ — "

Or, quand on fait glisser une arête d'un tétraèdre suivant sa

propre dii'eulion, on né change pas le volume de ce tétraèdre; on peut donc faire commencer le segment en un point quelconque de OZ.

On conclut de cette proposition le théorème suivant :

110. Théorème. — Si l'on prend les pioments des forces d'un système par rapport à un même axe, sur lequel on porte une certabic longueur l, la somme des moments des

forcée multipliée par le facteur ^ est égale à la somme

algébrique des volumes des tétraèdres construits sur la longueur l pour arête commune, et chaque force pour arête

On voit l'analogie de cette proposition avec ce théorème : La somme des moments d'un nombre quelconque de forces situées dans un môme plan, relativement à un point quelconque du plan, est égale au double de la somme algébrique des triangles, ayant ce point pour sommet commun et chacune des forces pour base.

Si les forces se font équilibre sur le corps, la somme des tétraèdres considérés dans le théorème précédent sera égale à zéro, queKque soit l'aie OZ.

111. Définition. — Deux systèmes de forces sont dits équivalents, lorsque, par la composition et la décomposition des forces, on peut ramener l'un des systèmes à l'autre, ou, en d'autres termes, quand toutes les forces étant transportées parallèlement à elles-mêmes, en un même point, les forces des deux systèmes ont la même résultante et donnent lieu par ce déplacement au même couple résultant.

Oti en conclut que, relativement à trois axes passant par le point considéré, les sommes algébriques des projections des forces et les sommes algélniques de leurs moments, sont

les mêmes pour les deux systèmes; on a donc les relations ;

Cela posé, on a le théorème suivant :

li2. Théorème. — Étant donnés deux systèmes de forces équivalents, la somme des tétraèdres construits sur les forces du premier système, prises deux à deux comme arêtes opj)osées, est égale à la somme des tétraèdres construits sur les forces du second système, prises aussi deux à deux comme arêtes opposées.

Soient a, b, c... les forces du premier système; a', b', c'... celles du second.

Désignons d'une manière fçénéj'ale par (F,F') le volume du létraèdi'e consti'uit sur deux forces F et F' comme arêtes opposées, volume pris avec un signe convenable comme on l'a indiqué. On verra aisément que :

Cela posé, appliquons la remarque (lH) en prenant successivement pour axe les forces a, b, c..., a', b', c'... Les deux groupes de forces étant équivalents, les sommes des moments, et, par suite, les sommes des tétraèdres devront être égalées pour chacun des axes ; on aura ainsi :

(a, b) •+■ (a, c) + ... = {«, a') + (a, b') -h ..., (i, a) + (il, e) + ... ={b, »') + {b. b') + ....

(V, 0) + (!.', il) + .

Ajoutant, réduisant et divisant par 2, on trouve :

(a, b) + (a, c) + (&, €)...;= {a\ 6') + (a' c') + {b\ c')... Ce qui démontre le théorème énoncé.

113. Remarque. — Nous avons dit qu'un système de forces peut d'une infinité de manières être ramené à deux forces ; il résulte du théorème précédent que :

De quelque manière qu'on remplace par deux seules forces un système de forces en nombre quelconque, le tétraèdre construit sur ces deux forces a un volume constant. Ce dernier volume sera nul si les deux forces sont dans un même plan et dans ce cas seulement. Ainsi :

La condition géométrique pour qu'un système de forces ait une résultante unique qui peut être nulle, est que la somme algébrique des volumes des tétraèdres construits sur ces forces, prises deux à deux comme arêtes opposées, soit égale à zéro.

§ IV. — Axe central,

114. — Nous avons dit que, si Ton change l'origine, le couple résultant change, tant pour son moment que pour la direction de son axe. Nous allons chercher les lois de cette variation.

Fig. 7S. Tout étant réduit à la seule

force R = AT et au couple G, ^ relativement au point donné A, nous voyons d'abord que si le point A se transporte en un point quelconque de AT, on aura toujours la force R et le couple G.

Décomposons ce couple G en deux autres, runGcos<p=AS dont Taxe AS sera dirigé suivant AT, et l'autre G sin 9 = AH dont Taxe AH soit perpendiculaire sur AT. Si dans le plan

mené par AT perpendiculairement au plan G AT, on transporte la force R parallèlement a elle-même, de A en 0, il en résultera un couple, dont Taxe sera dirigé suivant AH ou son prolongement ; nous pourrons transporter la force R de tel côté et à une distance x de A, telle que le couple VlX qui naîtra de ce transport, détruise le couple G sin ? = AH. Il nous restera donc la force R transportée en OR' et le couple dont Taxe est AS = OK ; de là ce théorème :

Tant de forces que Von voudra, sont toujours réductibles à une seule force, et à un seul couple, dont le plan est perpendiculaire à la direction de la force.

115. Arrêtons-nous à ce mode de réduction à une force OR et à un couple OK dirigé suivant OR. Si nous

thinsportons la force R parallèlement à elle-même en AT, A étant un point quelconque, il naîtra de ce transport un couple dont Taxe sera perpendiculaire au plan A OR, donc perpendiculaire sur OK ; ce couple se composera avec OK et donnera un couple résultant plus grand que OK. (Son moment sera la diagonale du rectangle construit OK et le moment du couple provenant du transport.) Donc :

Théorème. — Le couple qui jouit de cette propriété d'avoir son axe parallèle à la direction de la résultante de translation, est un minimum par rapport aux couples résultants qui se rapportent à une origine quelconque.

Cela démontre qu'il n'y a qu'une seule manière de réduire les forces à un système tel que celui que nous venons de définir.

Soit K le moment du couple minimum, on a :

K = Gcos9.

Ck^rame la valeur de K est indépendante de Torigine A dont nous étions partis, on a ce théorème :

116. Théorème. — La projection, sur la direction de la résultante de translation^ de l'axe du couple résultant relatif à une origine quelconque est constante. Il existe donc toujours un axe K dont la direction est celle de la résultante de translation, jouissant de la propriété que la somme des moments par rapport à cet axe est à la fois un maximum, relativement aux axes qui se croisent en l'un quelconque de ses points, et un minimum relativement à ceux qui donnent les moments maxima relatifs aux autres points de Fespace. Cet axe s'appelle Y axe central des moments du système de forces.

Les axes étant rectangulaires, si, l'origine étant le point A d'où l'on est parti, on pose :

X, Y, Z sont les projections de la force R qui correspond au point A, sur les axes, etL, M, N sont les projections sur les mêmes axes de Taxe du couple G qui correspond au point A. On aura :

XL YM ZN

^ ^ LX + MY + NZ

K = 6 cos 9 = 5

Pour tout point de l'espace, il y a lieu de considérer la direction du moment maximum et la valeur de ce moment maximum. Pour tous les points de l'axe central, la direction du moment maximum est la même, celle de l'axe central, et

404 COURS DE MÉGANIQUE.

le moment maximum a la même valeur; ce moment maximum est plus petit que celui qui se rapporte à tout autre point de l'espace .

Quand on passe d'une origine à une autre, X, Y, Z, R restent constants, mais L, M, N varient. On voit, d'après ce qui précède, que la quantité :

LX H- MY + NZ

reste invariable puisque K et R restent invariables.

117. Disposition de tous les axes autour de Taxe centi^. — Partons de l'axe central OK, OR; soit A un point

quelconque, p sa distance à l'axe central, ON une perpendiculaire au plan AOR et égale à Rp; construisons sur OK et ON le rectangle OKMN, OM sera en grandeur et en direction l'axe du couple résultant pour le point A, et l'on aura pour la valeur de ce couple résultant :

G = 1/ K« + RV; tg MOK = Y*

Par où l'on voit qu a des distances égales de l'axe central, les couples résultants ont des valeurs égales, et que leurs axes sont également inclinés sur cet axe OR, ce qui justifie la dénomination d'axe central.

Pour tous les points d'une même surface cylindrique de révolution autour de OK, le moment G est le même; l'axe du couple résultant fait un angle constant avec OK; le long d'une même génératrice, cet axe conserve la môme direction. Il suffit donc de connaître la distribution des axes pour les divers points d'une section droite de ce cylindre; ces axes forment un hyperboloïde de révolution autour de OK. Quand on passe d'un cylindre à un autre, la valeur de G augmente

avec p, et Tangle du couple résultant avec K a pour limite un droit.

118. Cas où il y a une résultante unique. — Si l'on prend pour origine un point quelconque' de cette résultante, le couple correspondant sera nul, et, par suite, cette droite sera Taxe central; tous les points d'un plan quelconque passant par la résultante unique donnent des couples résultants dont les axes sont parallèles. On a encore des moments égaux pour tous les points d'un cylindre de révolution ayant pour axe la résultante unique.

Cas où la résultante est nulle. — Le couple résultant reste le même en grandeur et en direction, quelle que soit Torigine où l'on transporte les forces.

119. Détermination analytique du couple minimum et de Taxe central. — Supposons qu'on ait, relativement au point 0, pris pour origine :

M = 2(;r'X'— ar'Z'),

Pour un point 0, dont les coordonnées sont oc^^y^^z^^ L, M, N deviendront L„ M„ N,, et on aura le^ valeurs de ces quantités en remplaçant x\y\ z' par les coordonnées relatives à des axes parallèles aux premiers et passant en 0„ c'est à dire par a?' — 0?,, !/' — î/i, z' — z^\ donc :

ou bien

G^ sera le moment du couple correspondant au point 0,. Remarquons en passant qu'on a bien :

L,X 4- M,Y 4- N,Z = LX -I- MY H- NZ.

Il faut déterminer le point 0„ et par suite a;„î/j,2„ de manière que G^^ soit un minimum ; on devra donc avoir :

dG/ dG,' itG,' Q

dx^ dy^ dz^

ce qui donne :

ou bien :

c'est à dire que Taxe du couple minimum est parallèle à la résultante de translation. Remettons pour Li, Mj, N, leurs valeurs (1), et nous aurons :

Ces équations étant du premier degré en a;,, y„ z„ on trouve pour le point 0„ non pas un point unique, mais tous les points d'une droite. Cette droite est l'axe central. De (2) on déduit :

Or:

L.« + M.» + N.» = G.«, L.X + M,Y + N,Z = LX + MY + NZ, X» + Y* -H Z» = R*.

De (4) on déduit donc :

G,' LX-4-MY + NZ .

d'où:

G»R = LX-hMY4-NZ,

ce qui donne la valeur du couple minimum.

§ V. — Quelques propriéièe des systèmes de deux forces auxquelles on peut toujours ramener un système de forces données.

120. Partons de l'axe central; nous avons l'axe OK du couple résultant dirigé suivant la résultante de translation OR. Soient P et P' deux quelconques des forces composant un système équivalent à la force OR et au couple OK; si l'on transporte ces forces parallèlement à elles-mêmes au point 0, leur résultante devra être égale à OR en grandeur et en direction. On a donc ce théorème :

I. — Si SUT les deux forces P et P' d'un système queleonque transportées parallèlement à elles-mêmes, en un même point de l'espace, on construit un parallélogramme^ la diagonale de ce parallélogramme sera constante, en granr deur et en direction.

Soit AA' la plus courte distance des

A Fie .78 deux forces; transportons A'P' paral-

/ \ . lêlement à elle-même en AP'; le

/ j \ p* plan PAP' sera perpendiculaire sur

*Vp* . y AA'; la diagonale AQ du parallélo-

/ / gramme construit sur AP et AP' sera

/ ^^^. parallèle à la résultante de translation ;

\i — -""' mais AQ'est perpendiculaire sur A A'.

^ Donc :

La plus courte distance des deux forces P et P' et

108 COURS DE MÉGANIQUE.

la résultante de translation font entre elles un angle droit.

121. Il est facile de montrer que la droite A A' rencontre Taxe central; car l'axe central OK étant perpendiculaire sur A A', on peut transporter le couple OK parallèlement à lui-même, de manière que son plan passe par A A', et le tourner dans son plan de manière que les deux forces du couple rencontrent A A'. Si Ton prend pour axe des moments la droite AA', en écrivant que :

Mom. P + mom, P' = mom. R + somme des moments des deux forces du couple, on aura :

mom. R = 0;

et comme R est perpendiculaire sur l'axe des moments, il faudra que R rencontre cet axe. Ainsi :

; IL — La plus courte distance des deux forces P et P' rencontre l'axe central et lui est perpendiculaire. Je vais prouver maintenant que :

III. — On peut déterminer le système de manière que Vune ,des deux forces agisse suivant une droite donnée quelconque, pourvu cependant qu'elle ne soit pas parallèle à l'axe central.

Soit en effet MN la droite donnée, OA sa plus courte distance à Taxe central que je prends pour axe des x. Nous prendrons pour axe des z la droite K et pour axe des y une perpendiculaire au plan zOx] je dis qu'on peut déterminer une force P agissant suivant MN et une force P' perpendiculaire à A de manière à remplacer le système de la force R et du couple K. Les forces P etP' sont parallèles au plan des yz; soient : a et a' les angles que font les directions de ces forces avec l'axe central, OA = a?, A' = a:' ; les composantes de

P et P' suivant les axes sont :

Psin a

Pcosa

P' sin a'

P' COS a'

Les coordonnées des points A et A' sont respectivement x, 0, ; ^ o;', 0,0; en écrivant que les som-

mes des projections des forces sur les axes Oa:, Oy, Or, et les sommes de leurs moments par rapport à ces axes, sont les mêmes dans les deux systèmes, on aura :

P COS a + P' ces a' = R, P sin a + P' sin a' = 0, Po? COS a -h ?'x' COS a' = 0, Vx sin CL -hFx' sin a' = K.

En tout quatre équations; x et % sont données; P, P', x' et a' sont inconnues; de (1) et (2) on tire :

R sin a'

sin (a' — a)

— R sin a

sin (a' — a)

En reportant dans (3) et (4), on a :

On aura donc

a!tga'=a?'lg«= — -

^ Rx Rtga

Ces valeurs seront admissibles, excepté si a =:: ; (5) et (6) détermineront ensuite P et P'.

Les équations (1), (2), (3), (4) comprennent la solution de toutes les questions que Ton peut se poser relativement au

■ilO COURS DE MÉCANIQUE.

système général des deux forces P et P'. Donnons-en un exemple, en démontrant le théorème déjà énoncé :

122, IV. — Le tétraèdre construit sur P et P' comme arêtes opposées a un volume constant.

On a en effet :

6 V ^ AA' X P X P sin (P, P') = (x' — x) ?P sin {a! — a),

siD (a' — *)

Or, de (7) on déduit :

. — K sin (a' — «)

af ^x = -^- . — ; ; H sin a sin oc

6 V — KR = constante.