ÉQUILIBRE D'UN STSTÊME QUI N'EST PAS LIBRE

123. Équilibre d'un corps gâné. — Si les six conditions générales de Téquilibre sont satisfaites^ l'équilibre aura encore lieu si on vient à gêner le corps ; aucune nouvelle condition d'équilibre ne peut donc être introduite; mais, au contraire, une ou plusieurs des six équations de l'équilibre deviendront superflues, et il s'agira de déterminer pour les différents cas qui peuvent se présenter , celles de ces équations qui resteront nécessaires.

Nous commencerons par considérer le cas où le système se réduit à un seul point. Lorsque le point est entièrement libre, pour qu'il soit en équilibre il faut qu'on ait les équations :

Il peut arriver que le point dont on cherche les conditions d'équilibre ne soit pas libre de se mouvoir d'une manière quelconque dans l'espace, c'est à dire que ses coordonnées ne peuvent pas prendre toutes les valeurs possibles; les déplacements de ce point étant soumis à certaines conditions, si la résultante des forces qui agissent sur lui tetid à lui faire prendre un mouvement incompatible aVec ces condi-»

lions, le corps restera en repos, exactement comme si cette résultante était nulle. C'est ce qui arrivera par exemple, dans le cas d'un point suspendu à un point fixe par Tintermédiaire d'un fil ; si ce point matériel est soumis à une force dirigée suivant le prolongement du fil, le point restera en équilibre. La force produira seulement une tension du fil, et si la résistance du fil est supposée indéfinie, nous n'aurons pas à nous en occuper.

125. Équilibre d'un point assujéti à rester sur une surface fixe. — Nous supposons que le point ait la liberté de se mouvoir sur cette surface de toutes les manières possibles. Si ce point est sollicité par une force normale à la surface, il restera en équilibre. Au contraire, si la direction de la force n'est pas normale à la surface, il n'y aura pas équilibre; car on peut la décomposer en deux autres, l'une normale à la surface qui sera détruite par la résistance de la surface, l'autre tangente à la surface et qui produit le mouvement, si le point est entièrement libre de se mouvoir suivant toutes les directions ; c'est ce qui n'aurait pas lieu dans le cas d'un frottement; mais nous ne considérons pas ce cas. Ainsi donc, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point assujéti à se mouvoir sur une surface, et sollicité par des forces quelconques, soit en équilibre, est que la résultante de ces forces soit normale à la surface.

Exprimons ces conditions analytiquement. Soit :

l'équation de la surface en coordonnées rectangulaires. Désignons par P, P'... les forces qui agissent sur le point matériel ; par a, p, y, a', p', y'-- ^^^ angles que ces forces font avec les axes, et posons :

X = 2 P cos a; Y = 2 P cos g; Z = ^ P cos y-

Les conditions d'équilibre seront exprimées par les deux équations :

^^ df df df

dx dy dz

Si ces équations ne sont pas satisfaites, il n'y aura pas équilibre.

Si les valeurs de X, Y, Z sont des fonctions de a?, y, 2, en résolvant les équations (4) et (2) par rapport à x^ j/, z, on trouvera le point où il faut placer le point matériel sur la surface, pour qu'il y ait équilibre.

126. Équilibre d'un point assujéti à rester sur une courbe donnée. — On verra, comme précédemment, que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équilibre ait lieu, est que la résultante de toutes les forces qui agissent sur le point soit normale à la courbe.

Soient :

les équations de la courbe ; on devra avoir :

• R ds ■•■ R ds ■*" R <J« ~" ' ou simplement :

(2) Xrfa! + Ydy 4-Zd2 = 0;

or, de (1) on tire :

df , df , df , .

di '^^ -^ r/î' -^ di ''-' = ^'

-r- dx -^ -^dy -h —d^ = 0, dx dy dz

d'où :

dx dy dz

df d^ df d<^ df d(f df d^ df d^ dfd:^' dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx

Uespeyrous. — Mécanique. 8

leportant dans (2) il vient :

\rfy dz dz iy) \dz dx dx dz)

\dx ûy dy dx} Telle est la condition d'équilibre; si cette équation n'est as satisfaite pour le point donné, il n'y aura pas équilibre, i X, Y, Z sont donnés en fonction de x, y, z, les équations (1) t (3) feront connaître les points de la courbe pour lesquels équilibre a lieu.

127. Autre manière d'avoir égard à la résistante des uriaces et des lignes. — On voit, d'après ce qui précède, u'une surface ne peut détruire que les forces qui lui sont ormales; elle produit toujours le même effet qu'une force ormale ^ale à la somme de celles qu'elle détruit. Il en est e même de la résistance d'une courbe; elle détruit les forces ont la direction est comprise dans le plan normal mené ar le point d'application, et n'en détruit aucune autre; 1 résistance pourra donc toujours être remplacée par une )rce normale égale et contraire à la résultante de celles u'elle détruit. De là une nouvelle manière de traiter le roblème.

\'> Cas d'une surlace. — Soient )., i*, v les angles que fait 1 ec les axes la résistance normale N de la sm-face; il devra avoir équilibre entre cette résistance et les forces données ppliquées au point matériel ; on aura donc les trois équaons d'équilibre puisque, grâce à l'introduction de la force N, I point matériel peut être considéré comme libre :

X + N cos ). =; 0; Y + N cos i». = 0; Z + N cos v e= 0. r, en faisant :

on a :

(7) cos X = V 7^; cos u = V ~; cos v = V ~ .

^ ^ dx ^ dy dz

On aui-a donc les trois équations :

(8) X + NV^ = 0; Y + NV^ = 0; Zh-NV^ = 0,

(tx dy ûz

ou bien :

(9) Nv = | = |^=|.

dx dy dz

On voit qu'on arrive ainsi aux équations (2) ; mais on aura en outre la valeur de N V, ce qui donne le signe de V, car N est essentiellement positif, et la grandeur de N, qui est la valeur de la pression exercée par le point sur la surface, ou de la résistance de la surface. On voit qu'au point de vue de l'équilibre les équations (9) se réduisent à deux conditions ; la ti'oisiôme sera vérifiée en prenant pour N une valeur convenable. On calculera d'ailleurs plus rapidement la valeur de N par la formule :

(10) N = \/W+x^Tv.

Si le point matériel est seulement posé sur la surface, il faudra en outre que le sens de la pression soit tel, qu'elle appuie le point sur la surface, condition qu'on devra vérifier dans chaque cas particulier, en déterminant, comme nous l'avons dit plus haut, le sens de cette pression par le signe deV.

^ Cas de la courbe. — On aura :

(H) X-i-NcosX = 0; Y -4- N ces [1.==: G; Z-t-Ncosv = 0,

d*où l'on déduira immédiatement la condition (5); N sera

calculé par (10) et les équations (11) donneront cos X, cos yt, cos V en grandeur et en signe.

§ II. — Équilibre d'un corpe gêné.

128. 1^ Le corps présente un point fixe. — Soit 0«ce point fixe; en y transportant toutes les forces, on obtiendra une résultante R et un couple G, — G : la résultante sera détruite par la fixité du point. Quant au couple G, — G il doit être nul ; car en transportant le couple parallèlement à lui-même, de manière que la force G vienne passer par le point fixe, cette force sera détruite et la force — G produira tout son effet. Donc le moment du couple G est nul, et il en résulte les trois équations :

Ainsi, pour l'équilibre d'un corps mobile en tous sens autour d'un point fixe, il faut et il suffit que les sommes algébriques des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires menés par ce point soient égales à zéro.

Le couple étant nul, indépendamment du point fixe, n'exerce aucun effort sur lui ; le point fixe n'est donc pressé que par la résultante des forces X, Y, Z; ainsi la pression qu'éprouve le point fixe est égale à la résultante de toutes les forces transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point.

On voit que l'effet du point fixe se borne à détruire la pression qu'il supporte ; on pourrait donc remplacer le point fixe par une force égale et contraire à cette pression ; cette nouvelle force Rj est la réaction du point fixe. Soient X„ Y„ Z, les composantes de R, ; les coordonnées de son point d'application sont nulles. On peut maintenant considérer le corps solide comme libre, et appliquer les six équations de l'équilibre, ce qui donne :

Les trois premières équations déterminent les composantes de la réaction du point fixe, laquelle est égale et contraire à lap pression. Les trois dernières sont les équations de l'équilibre déjà trouvées antérieurement.