Cas d'un axe fixe. — Tous les points de Taxe sont

invariables de position et susceptibles d'offrir en tous sens une résistance indéfinie. Prenons cette droite pour axe des z; la résultante OR des forces transportées parallèlement à elles-mêmes sera détruite, puisque le point est fixe; quant aux couples résultant de cette translation, et situés dans les plans zOx et zOy, ils seront détruits par la résistance de l'axe, car les bras de levier de ces couples peuvent être transportés sur Taxe même. Il ne reste donc plus que le couple situé dans xOyy qui doit être nul, sans quoi, en le transportant parallèlement à lui-même de manière que Tune de ses forces passe au point 0, celle-ci serait détruite, et l'autre ferait tourner le système autour de l'axe Oz. La seule condition d'équilibre est donc :

et l'on peut l'énoncer en disant que : la somme algébrique des moments des forces par rapport à l'axe fixe doit être nulle.

Pour connaître les efforts exercés sur l'axe fixe, il faut composer les forces qu'il détruit. Les couples situés dans le plan zOx et la force X se réduisent à une seule force qui rencontre l'axe, à moins que l'on ait X = 0, auquel cas on aurait un couple seulement; il en est de môme dans le plan de yz. Outre ces efforts appliqués à l'axe, il y a encore la force Z qui tend à l'entraîner dans le sens où elle est dirigée. L'axe produit donc des forces égales et contraires à celles-ci, puisqu'il les tient en équilibre.

Si deux points seulement du système sont fixes, les résistances ne pourront provenir que des deux points, et l'on devra décomposer les forces qui rencontrent l'axe, en d'autres qui passent par ces deux points, et feront connaître les forces qu'ils produisent pour détruire celles-ci. Quant à la force dirigée suivant la droite qui les joint, elle pourra être décomposée d'une infinité de manières en deux autres appliquées à ces points.

On peut du reste traiter autrement la question en introduisant les réactions R^ et R, des deux points fixes et 0', dont les composantes seront :

X„ Y|, Z, pour le point dont les coordonnées sont 0, 0, 0, X„ Y„ Z, pour le point 0' dont les coordonnées sont 0, 0, h.

Grâce à l'introduction de ces forces, on pourra considérer le système comme entièrement libre, et appliquer les six équations de l'équilibre, ce qui donnera :

La dernière équation est la seule condition d'équilibre déjà trouvée ; quant aux cinq autres, elles donnent :

Zj + Z, = — Z.

Ces équations déterminent donc Xj, Yj, X„ Y„ mais seulement la somme Z» + Z„ ce qui s'explique, comme nous l'avons dit, puisque les deux forces ont une résultante que l'on peut appliquer au point 0, et que l'on peut partager en deux parties quelconques, appliquées aux points O et 0'.

Le treuil n'est autre chose qu'un corps solide qui a la liberté de tourner autour d'un axe fixe. Ce qui précède fait donc connaître la condition d'équilibre que supporte cette . machine, et la charge que supporte l'axe.

Lorsque les forces se réduisent à deux, situées dans des plans perpendiculaires à l'axe, la condition d'équilibre consiste en ce que ces forces soient en raison inverse de leur distance à l'axe.

131 . Remarque. — On a établi, pour condition de l'équilibre dans le cas d'un point fixe, les trois équations :

On en conclut que, pour que des forces quelconques se fassent équilibre sur un corps mobile en tous sens autour d'un point (ixe, il faut et it suffit qu'elles se fassent équilibre autour de trois axes i-ectangulaires passant par le point fixe ; s'il en est ainsi, l'équilibre aura lieu autour d'une droite quelconque passant par le même point.

132. 3°. — Le corps a la liberté de glisser le long de l'axe fixe, et en même temps de tourner autour de lui.

On aura les-deux équations d'équilibre :

Z = et N = 0,

133. 4°. — Le corps ne peut que glisser le long de l'axe sans tourner.

On aura une seule condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre,

et le couple situé dans le plan xy fera connaître la résistance opposée par l'axe à la torsion.

134. Équilibre d'un corps qui s'appoie sur un plan fixe sur lequel U peut glisser librement. — Prenons le plan fixe pour plan des xy;en chaque point de contact, il se développera une réaction normale à la surface, c'est à dire parallèle à l'axe des z; soient N,, N,... ces réactions, x„ y,, x,, y,... les coordonnées des points d'appui. En introduisant ces réactions, on pourra considérer le corps comme libre, et appliquer les six équations de l'équilibre, ce qui nous

donnera :

M — ^ar.Z. — 0.

On déduit de ces équations :