LX-+. MY + NZ
Donc, les forces données doivent avoir une résultante unique ; la valeur de cette résultante sera égale à ^ Z< ; elle sera
normale au plan, dirigée en sens contraire des réactions, et on aura évidemment son point d'application en cherchant celui des réactions dont on connaît les divers points d'application. En composant successivement ces réactions, on voit que le point d'application de leur résultante sem à l'intérieur <run polygone convexe ayant pour sommets des points pris parmi les points de contact, et contenant à son intérieur ou sur ses côtés tous ceux de ces poixits de contact qui ne sont pas à ses sommets; ce polygone est ce qu'on nomme le polygone d'appui. Ainsi, pour que l'équilibre ait lieu, il faut que les forces aient une résultante normale au plan, et rencontrant ce plan à l'intérieur du polygone d'appui. Cette condition est suffisante ; car, si elle est remplie, la résultante pourra toujours être décomposée en forces normales au plan, et appliquées aux divers points de contact.
Quel que soit le nombre des points de contact, nous aurons les trois conditions :
nous n'aurons pour déterminer les réactions Z, que les trois équations :
(3) Z-f-2z,= 0; h-ï'^yiZi = 0; ii — ^ZiXi = 0.
Il convient de distinguer plusieurs cas :
1° Il n'y a qu'un point d'appui.
On prendra ce point pour origine; on aura les deux nouvelles conditions d'équilibre :
à joindre aux conditions (2) ; la pression sera déterminée par l'équation :
2" Il y a deux points d'appui. On prendra l'un d'eui pour origine, et la droite qui les joint pour axe des œ; on aura :
On aura donc la nouvelle condition :
à joindre aux conditions (2); puis il viendra :
Z 4- Z, + Z, =î: 0; M — Z, a = I On a donc :
3° S'il y a trois points d'appui, il n'y a plus de nouvelle condition d'équilibre, et les trois réactions sont déterminées par les' trois équations (3).
4° S'il y a un plus grand nombre de points d'appui, les chaînes de chacun de ces points sont indéterminées, puisqu'elles doivent seulement satisfaire aux trois équations (3) ; il en est de même encore dans le cas où il y a seulement trois points d'appui, mais situés en ligne droite.
On pourra donc se donner à volonté toutes les réactions, sauf trois.
Il faudra toutefois que les réactions choisies arbitrairement
aient le môme signe, et que les trois réactions conclues des équations (3) aient le môme signe que les précédentes.
135. Explication d'un paradoxe. — Nous venons de trouver que les pressions sont indéterminées lorsqu'il y a plus de trois points d'appui ; cependant, en considérant à priori un corps appuyé contre un plan, par un nombre quelconque de points, et tenu en équilibre par une force normale à ce plan, il paraît évident que chaque point d'appui éprouve une pression déterminée. De là un paradoxe que nous allons chercher à éclaircir.
Remarquons qu'il s'agit d'un corps que nous avons supposé parfaitement invariable; nous pouvons donc concevoir les points de contact de ce corps comme unis entre eux par un plan parfaitement inflexible, lequel repose sur les points fixes A, B, C, D... Or, lorsqu'il y a plus de trois points d'appui, ou seulement trois, quand ils tombent en ligne droite, il n'est pas difficile de voir que certaines parties des pressions qu'on supposerait exercées par le plan sur ces points, peuvent être imaginées comme se reportant indifféremment des uns aux autres, de manière qu'on ne puisse demander ou ce qu'elles sont en elles-mêmes, ni sur quels points d'appui elles s'exercent de préférence, à moins de détruire l'hypothèse de l'inflexibilité parfaite du plan qui unit les points du corps.
Ainsi, supposons trois points B d'appui en ligne droite; nous
admettons que les trois points R, A, B, G du corps sont liés entre
eux par une verge inflexible, qui ^ repose sur les trois points d'appui
fixes A, B, G ; admettons que l'on
sache que cette vei^e est actuellement poussée aux trois points A, B, G par les trois forces
normales P, Q, R parallèles entre elles; on ne serait pas en droit d'en conclure que les pressions exercées sur les points d'appui sont respectivement égales aux forces P,Q,R. Prenons en effet, dans P et R des parties P' et R' telles que :
