CHAPITRE VII

POLYGONE FUNICULAIRE. — COURBE FUNICULAIRE. THÉORIE DE LA CHAINETTE. - COURBE DES PONTS SUSPENDUS.

§ I. — Polygone funiculaire.

137. Équilibre du polygone funiculaire. — Supposons qu'un fil parfaitement flexible et inextensible soit sollicité par des forces F,F',F',F^,F'%F^ appliquées à ses extrémités A,G, et à divers points B, C, D, E de sa longueur ; ce fil étant en équilibre sous l'action des forces dont il s'agit, affectera la forme d'un polygone ayant pour sommets les divers points ' d'app lication de ces forces ; on donne à un pareil fil le nom de polygone funiculaire. Nous allons voir en quoi consiste les conditions de son équilibre.

Supposons qu'on vienne à couper le cordon B G en I; la

partie ABI va cesser d'être en équilD)re; pour maintenir l'équilibre, il faudra lui appliquer en I une certaine force IT; il faudra de môme appliquer en I une force I Tj pour maintenir en équilibre la partie ICD... G; je dis que la force IT doit être dirigée suivant le prolongement de BI. En effet, le cordon ABI est en équilibre sous raction des forces F, F' et IT. L'équilibre aura encore lieu si nous solidifions le cordon, en lui laissant toutefois la liberté

de tourner autour du point B, qui sera fixe; mais on voit alors que la force IT produirait le mouvement si elle n'était pas dirigée suivant BI; enfin, à cause de la flexibilité du cordon, il faut que cette force T soit dirigée suivant le prolongement de BI.

Rapprochons maintenant ABI et ICDEG. Chacune des deux parties du polygone étant en équilibre séparément, le polygone entier sera aussi en équilibre, sous Taction des forces F, F', F', F'', F'\ F% T et T,. Mais il était déjà en équilibre sous l'action des seules forces F, F', F", F*, F"', P; donc les forces T et T, se détruisent; ainsi T, = T.

La valeur de Tune quelconque des forces T et T, est la tension du cordon BC.

Ainsi, dans Tétat d'équilibre, chaque cordon est tiré par deux forces égales et contraires, dirigées suivant le cordon ; chacune de ces forces représente la tension du cordon. On pourrait mesurer cette force en coupant réellement le cordon et interposant un dynamomètre entre les deux parties.

On voit, comme conséquence immédiate de ce qui vient d'être dit, que les forces extrêmes F et F^ doivent être dirigées suivant les prolongements des cordons BA et EG et qu'elles sont égales aux tensions de ces cordons.

Le point A sera ainsi en équilibre, sous l'action de la force F et de la tension du cordon AB. Passons aux conditions d'équilibre du point B : ce point devra être maintenu

en équilibre sous l'action de la force F égale à la tension Bf du cordon AB, de la force BF' et de la tension Bt^ du cordon BC. En solili (Ufiant le système, on voit que la force B<, doit être égale et opposée à la résultante des deux forces Bt et lîF' ; ainsi le côté BC du polygone funiculaire doit être dans le plan des deux droites BA, BF';

il doit êti^e le prolongement de la diagonale du parallélogramme construit sur Bf et BF', et la tension du cordon BG sera représentée par la grandeur de cette diagonale.

On voit que nous avons déterminé la direction du côté AB et celle de BC, sans faire aucune hypothèse sur la direction et l'intensité des deux forces F et F'; on arrivera ainsi à la dernière force F^, qui devra être dans le plan DEF'"", suivant le prolongement de la diagonale du parallélogramme construit sur F'"" et la tension de ED, et égale à la diagonale de ce parallélogramme.

138. Polygone de Varignon. — Toutes ces conditions d'équilibre du polygone funiculaire peuvent s'exprimer simplement par une construction géométrique due à Varignon.

Par un point quelconque 0, menons une droite M égale et parallèle à la force BF qui est égale à la tension T du côté AB ; par le point M une droite M M' égale et parallèle à F' ;

par M' une droite égale et parallèle à F'... Les droites OM, OM', OM'...

représentent les directions des divers côtés du polygone, les grandeurs de ces droites représentent les tensions des divers côtés. OM^^ représentera la tension du côté EG, de sorte qu'en menant par M^^ une droite égale et parallèle à F^, on retombera sur le point 0.

On voit qu'en opérant ainsi, on a construit le polygone des forces ; ce polygone se ferme de lui-même ; il faut donc que les forces données soient en équilibre si on les applique au point 0, c'est à dire que l'on ait les trois premières équations de l'équilibre d'un corps solide :

DESPEYnous. ^ Mécanique. 9

On voit, en résumé, que les conditions d'équiUbre du polygone funiculaire sont :

4° Que l'extrémité dû polygone de Varignon coïncide avec son point de départ.

2° Que les cordor^ intermédiaires BC, CD... soient parallèles aux diagonales OM', OM'... du polygone.

3^ Enfin, que chaque côté puisse résister d la tension qu'il supporte; toutes ces tensions sont représentées en grandeur par les diagonales du polygone.

139. Dans le cas particulier où les diverses forces F, F', F'... qui agissent sur le polygone funiculaire sont toutes parallèles à un même plan, il est aisé de voir que le polygone de Varignon est situé tout entier dans un plan parallèle au précédent; il en est de même du polygone funiculaire dont les côtés sont parallèles aux diagonales du polygone auxiliaire.

Il en est encore de même, lorsque toutes les forces intermédiaires F', F', F'^, F'"" sont parallèles à une même droite, quelles que soient les directions des forces extrêmes F et F^ ; car, alors, le polygone de Varignon devient un triangle, et le polygone funiculaire est situé tout entier dans un plan parallèle au plan de ce triangle, donc parallèle à la direction commune des forces ; la dernière force est dans ce plan.

§ n. — Courbes funiculaires.

140, Le polygone funiculaire est la figure d'équilibre d^un fil soumis à des forces discontinues; lorsque la répartition des forces est continue, le polygone se change en une courbe funiculaire dont nous allons chercher les équations. .

En partant du polygone pour arriver à la courbe, on pourrait admettre -^le chaque élément de k courbe funi-

culaire est tiré dans le- sens de sa longueur par deux forces égales et contraires; chacune d'elles est la tension du fil au point considéré. Cette tension serait une fonction continue de Tare s de la courbe compté d'un point fixe jusqu'au point considéré. Mais on peut le démontrer aussi directement.

Soit A MB le fil flexible et inextensible, dont les extrésûtes A et B s^ont fixes ou sollicitées par des forces données de direction ei d'intensité; soit AM=». L'élément MM'=ds

sera sollicité par une petite force NF que l'on pourra concevoir appliquée en un point quelconque N de MM' ; cette force sera de môme ordre de grandeur que dSj et nous pourrons la représenter par Fds, F étant fini; cette force sera la résultante des petites forces qui agissent sur les divers points de MM'. Par exemple, si le fil est homogène et pesant, que p désigne le poids de l'unité de longueur, la force NF sera pds; si le fil, tout en étant pesant, a* une section variable w, et un poids spécifique variable p, on aura :

NF = (I) ds X p = wp rf5 — f{s) ds;

car p et Cl) seront des fonctions connues de s, et le produit wp pourra être représenté par f {$). ■

Nous rapporterons les divers points du fil à trois uxes coordonnés rectangulaires quelconques Ox, Oy, Oz^ et nous désignerons les composantes de la force NF par Xds, Yds, Zds. X, Y, Z seront les composantes de la force extérieure rapportée à l'unité de longueur du fil.

141 • De la tension en un point du til. -r- Si Ton coupe le rij en Jé^ hkp$Ê^ kU tte sem {dlis en^quilifere ; il fa«Mlra

ppliquer une force MTqui pourra remplacer l'action [B; il faudra de môme appliquer à MB une force MT,. irouvera, comme dans le cas du polygone, que ces deux s doivent être égales et opposées.

Chacune d'elles est finie, car MT lemplace toutes les petites forces du premier ordre de petitesse en nombre infini appliquées aux divers points de MB.

Je dis en second lieu que la direction commune de T et T, est celle de la tangente en M à la courbe funiculaire.

ippoBonslaportionAM'Menéquilibre(^(;.88).SoitM'un t voisin de M; fixons M' et soUdifions l'élément M' M en lui laissant la liberté de tourner autour deM' ; nousavons un petit levierMM' sollicité par deux forces : T et Fds; le point d'appui est M' ; les moments relatifs au point M' doivent être égaux; celui de Fds est Infiniment petit du second ordre; celui de T

Fi(î,&6

T X M' I = T X MM' sin = Trfs sin 6,

înt fini, pour que cette expression soit du second ordre, it que e soit du premier ordre ; par conséquent :

Limit. 6 = 0;

; MT a la direction de la limite de MM', c'est à dire de

ngente en M'.

ï valeur commune de T et T, est la tension en M.