Xds

Yds = 0,

+ Zds = 0.

Eii général, X, Y, Z dépendent seulement de x, y, z, et c'est ce que nous supposerons dans ce qui suit; mais il peut se faire aussi que ces quantités soient des fonctions de Tare s. Tel serait le cas d'un fil pesant, pour lequel la densité varierait d'un point à l'autre.

Si l'on prend x pour variable indépendante, on aura à déterminer y et z en fonction de x pour avoir l'équation de la courbe.

Les équations (1) contiennent:

dT dy d^ dz d^z ^' ^'dx'^'dx'dx''^'d^'d^'''

c'est un système de trois équations simultanées dti second ordre. Il semblerait à priori que les intégrales générales

doivent contenir six constantes arbitraires; ici il n'y en aura

d*T que cinq parce que les équations ne renferment pas ^ . Si

dT dPii d*z l'on peut déterminer à l'aide des équations (1) j-* j-^ » j-,

et si l'on pose :

dx* dx*

=/(-.'. '--.si- Si)

./ „ dy d2;\

en partant d'une valeur donnée de a? et adoptant pour les

valeurs correspondantes de y, z, T, j^» -p des valeurs

données, qui du reste peuvent être quelconques, on pourra calculer pour une valeur quelconque de a; : T, j/ et z. Il y aura donc seulement cinq constantes arbitraires; on les déterminera en supposant que les deux extrémités du fil sont données et que le fil a une longueur connue, l. On écrira donc, en désignant par x^ et a?, les valeurs çle x qui répondent à ces extrémités, que pour x=zx^:

y = yo» ^ = ^

et pour x = x^:

et enfin que :

Jx. dx

143, Nous allons montrer comment on peut éliminer T des équations (1). On peut écrire ces équations comme il suit :

dx dx

ds ds '

dz dz ^ ds ds

On en tire, en multipliant les équations (2) par des facteun convenables, et remarquant que :

dx* dy* iz* df "*" ds» "^ dj* ~ '

et par conséquent :

ày . dp ^dz dz ds as as as

les équations (3)

/ dT = — (Xda; + Ydy + Zd3), " {(

(3) < \ds ds ds ds/ ^

f ^\rrà--i -r-d- -j-\ = Zdx~\dz,

\ \ds di ds ds/ ^

et le système (3) est équivalent au système (1). De (6) et (c), on conclut ;

X<iï-

■Idx Zdx-Xds

dx . ât

d, ^ dx dz^ dx- dx^dz

d, '■ ds

ds ds de ds d$ ds

On aura donc, en somme, les deux équations suivante pour déterminer la courbe funiculaire :

d£^,dy dy ^ dx

Xdy — ydx ds ds ds ds

^ 2dx — Xdz~dzdx dx dz

ds ds ds • ds

Xdy — Ydx

(6) Xdx + Yd]/ + Zdz-hd\dx^dy dy^dx^:=0.

\ ds ds ds ds j

Nous simplifierons quelque peu, en prenant x pou

variable indépendante ; nous aurons :

dy dz

, dy ds , dz ds

dx dx^ dx dx^

ds ds

dx ^y __^ j ^^ d^y dy' ds ds ds ds

dx* ^ dx , dx*

dx . dz dz , dx d^z dz^ ds ds ds ds dx^ ""do? V dx*

'ds*

d'où:

da; . ây dy , ix d*y - dx

/lo /Ttf /lo /?0 /J />»*

ds ds ds ds dx* . dy* dz*

dx* dx*

dx dz dz dx d*z dx

ds ds ds dx* . dy* dz*

dx* dx*

Les équations (4), (5) et (6) deviendront donc :

. dy* dz* dx* dx*

dx*

dy Y d^

dx X dx*

dz Z ~'¥z dx*

\ dx X

(9)X + Y^ + Zl^ + A (x|.V y) ^ ^ dx dx dx) \ dx /

. dy* dz*

dx* dx* .

dx*

(8) et (9) seront les équations propres à déterminer y et z en fonction de a;, c'est à dire la figure du fil ; la première de ces équations est du second ordre, la seconde du troisième ordre; il y aura bien cinq constantes arbitraires, comme on Ta vu précédemment.

L'équation (7) fera connaître ensuite la tension.

144. Dans le cas où la courbe funiculaire est plane, ce qui arrivera si les forces qui sollicitent chaque point du fil sont parallèles à un môme plan, ou à une même droite en prenant ce plan pour plan des xy, on aura :

Z = 0, Z = Oy

et par suite le problème sera résolu par les équations :

(iO)

dx dx i\ dx ]

rfo?*

d^ dx"

dx*

L'équation (10) est une équation différentielle du troisième ordre. On déterminera les trois constantes arbitraires comme précédemment. ;

145. Dans le cas général, on est très loin de savoir intégrer. Considérons le cas où les' composantes X, ^, 2i sont les dérivées d'une même fonction <p de x, j/, z, c'est à dire où Ton a :

rf? (a?, y, z) ' d^ fa , y, z) rf? (ac, y2__fl

*^ COURS DE MÉCANIQDE.

qui exige que l'on ait :

dX il

<JX il

i\ iï

It ~ ix'

iz ~ in?

iz-îj'

dT = -(Xda! + Y rfy + Zdî) nne :

. désignant par C une constante arbitraire.

Soit T, la tension au point x„ y,, z„ on aura :

On voit donc que dans ce cas, sans avoir déterminé la figure équilibre, on coniiEutra l'accroissement de tension en passant an point à un autre ; en sorte qu'il sulTu^ que cette tension it connue en un point déterminé, poiu* qu'elle le soit aussi jis toute la longueur du ûl. Dans ce cas l'équation (9) peut [•e int^ée et la figure du fil sera déterminée par les deux [uations :

dx dar

ix'

Ces équations sont toutes les deux du second ordre; il

convient du reste de les écrire comme il suit :

d(p djf __ d^ d'y

, dy* d%^ dm^

Mais, dans la pratique, il vaudra toujours mieux substituer la valeur (42) de T dans deux des équations (4) ou dans deux de leurs combinaisons convenablement choisies.

146. Transformation des équations (1). — Partons du système équivalent (2) ; désignons par Ç, y), î; les cosinus des angles que le rayon de courbure de la courbe funiculaire fait avec les axes, par a, p, y les angles que fait la tangente avec les mêmes axes. On aura comme Ton sait :

dx ^ dx j CCS Çd5.

:r- = cos a: d • -r- = d ces ot = »

ds ds p

donc les équations (2) vont s'écrire ;

àT ^ T - ^

ces a -T- H- C08 Ç - H- X = 0,

ds p

I dT T

(18) ( CCS p -T- + COS Y) - + T = 0,

as p

CCS Y -r- -*- CCS î - -H Z = 0.

ds p

En remarquant que :

CCS* a -h CCS* p -h ces' Y = 4»

ces* Ç + CCS* Y) 4- ces* Ç = 1,

CCS a ces Ç + ces p cas Yj -h CCS Y ces Ç = 0,

en tire :

+ (X cos a + Y cos-p 4- Z cos y) = 0,

~ + (X cos Ç + Y cos 1] + Z cos = ; P

bien, en désignant par P et Q les composantes de la :e rapportée à l'unité de longueur suivant la tangente et lormale principale de la courbe :

as T

P I équations sont souvent très utiles.

147. Remarquons que si >>, i*, v désignent les angles que avec les axes de coordonnées l'axe du plan osculateur,

déduira des formules (15) :

X cos X 4- Y cos 1* + Z cos V = 0,

qui montre que la force est située dans le plan osculateur la courbe funiculaire. Ce qui devait être, puisque, quand a établi les équations de l'équilibre, on a vu que la force érieure et les tensions T et T' devaient se faire équilibre. ; trois forces sont donc dans un môme plan qui est évidemnt le plan osculateur.

148. Cas où toutes les forces sont □onnales an fil. — a dans ce cas :

Xdx ydy ^dz F ds "^ F ds "^ F ds ~ '

\dx + Ydy + Zdï = 0,

et par suite :

Ainsi, la tension est constante tout le long du fil. Les équations (15) donnent alors :

X = CCS Ç,

Y = cos Ti,

Z = cos Ç,

P ou bien, en faisant :

X = PcosA; Y = PcosB; Z = PcosC,

P cos A = cos 5,

P cos B = cos Yj,

P cos C = cos î;

cos A = — cos 5, cos B = — cos yj, cos C = — cos Ç.

Donc : La force P est inversement proportionnelle au rayon de courbure, et elle est dirigée suivant le prolongement de ce rayon de courbure.

Ce cas est réalisé, quand un fil est tendu sur une surface S par deux forces qui le tirent à ses extrémités ; car la réaction de la surface étant normale à la surface, est normale au fil. La tension est constante, donc les forces qui tirent le fil aux

deux bouts sont égales entre elles. On voit que le plan osculateur de la courbe est constamment normal à la surface; donc la courbe funiculaire est une ligne géodésique de la surface. Eofio la réaction de la surface en chaque point est en raison inverse du rayon de courbure.

140. Dans les applications, la courbe fimiculaire sera le plus souvent plane. Alors, en prenant ce pian pour plan des xy, on aura pour déterminer la courbe, les équations :

i d.T^ + X<i.=0 |<!.T^+Ti« = 0.

Si l'oB a :

Xdx + Ydy = df (x, y), et par conséquent :

T = T, + ?(a!„y.)-f («,y), en substituant cette valeur de'T dans l'une des équations (18) on aura l'équation diftérentielle de la courbe cherchée.

§ in. — Théorie de la, chaînette. — Courbe des ponis suspendu».

160. La chaînette est la courbe formée par un fil pesant et homogène, suspendu à deux points fixes. — Soïlp le poids de l'unité de longueur; on aura, en prenant l'axe des y vertical, et dirigé vers le haut :

Les équations générales deviendront donc :

On en conclut d'abord, en désignant par C et C deux constantes arbitraires :

d'où :

C'a? —Cz =C',

en désignant par C une nouvelle constante arbitraire.

Donc la courbe est tout entière dans un plan vertical, qui doit naturellement contenir les deux points fixes. Prenons donc ce plan pour plan des xy^ et nous aurons :

donc :

d Tlf = 0, ds

d.Tp^=pds,

ds '^ '

en désignant par fc une constante arbitraire ; d*où :

on voit que p/i désigne la tension au point le plus bas, poui'

dx lequel on a j- = 1. En portant cette valeur de T dans la

seconde des équations (a), il viendra :

ou bien :

Telle est réqualion différentielle de la courbe cherchée. Soit :--7- = y'] nous aurons :

en portant ces valeurs dans l'équation (b), il viendra :

dx dy'

en intégrant et désignant par x^ une constante arbitraire, on trouvera :

h d'où Ton tirera :

.• = log. (y' + |/l + y'*),

y' -\-Vi + y'*=ze ~«~,

-y' + Vi + y'*=e * ,

Multiplions par dx^ intégrons et désignons par H la constante arbitraire ; nous aurons :

h ( '-^ niîJll£î}\

tf = ^\e ^^ + e * ; + H.

Le point le plus bas a pour coordonnées :

Si Ton transporte Taxe des y de manière qu'il passe par le point le plus bas, on aura :

Il faut se rappeler que ph est la tension au point le plus bas.

STATIQDE.

Comme on a : 'j- = Kl H- y'*, il est facile de calculer -^i et

oa? ax

par suite s. On trouve ainsi :

Il n'y a pas de constante à introduire si Ton compte les arcs à partir du point le plus bas de la courbe. Comme la tension est donnée par la formule : .

on a :

T=py.

Ainsi : La tension en un point quelconque est proportionr nelle à l'ordonnée de ce point.

151. Détermination des constantes et constmction de la courbe. — Dans le plan xOy, menons Thorizontale BC,

la verticale AC, et posons :

BG = rn, AC = w»

arc ADB = (;

m, n, l sont les données, et il s'agit de trouver les " coordonnées {x^J y^) (a:,, y,) des points auxquels la chaînette est attachée et la constante /i = OD.

Nous avons : ...

Despetrous. — Mécanique.

146 COURS DE UÈCtiUlQUE.

On pourra déterniiner h, x, et a:, par les équations (3), (4) et (5). On en déduit en ellet ;

P — il' = *'(e' + eT^— î),

m ."-eTï^= j ,

Cette équation ne renferme que l'inconnue ft ; je dis qu'elle a toujours une racine positive et une seiUe. Soit en effet ;

2tt