X TT
A^ Is A/
comme :
. . ., corde MM'
Limite : = 1,
on a :
, , .^ corde MM' . . A«
Limite : = Limite — •
A^ àt
On voit donc qu'à un instant quelconque la vitesse est la dérivée de l'espace par rapport au temps, et de plus que la vitesse est une grandeur géométrique qui à chaque
156 COUnS DE MÉCANIQUE.
instant doit être considérée comme portée sur la tangente à la courbe au point considéré à partir de ce point dans le sens du mouvement du mobile sur sa trajectoire.
5. Projection du mouvement sur un plan fixe. — Pendant qu'un point se meut dans l'espace en décrivant une courbe, sa projection sur un plan faite parallèlement à une direction donnée décrit une autre coui-be. Soit mm' la projection de l'arc infiniment petit MM', la corde mm' sera la projection delà corde MM' . Si nous amplifions ces
''£^^- deux droites dans le rapport r; '
/ l'une des droites amplifiées sera ^ / encore la projection de l'autre.
/ D'où on voit en passant à ia
^ limite qu'à chaque instant :
La vitesac de laprojection est laprojection de la vitesse du mobile dans l'espace.
Remarque. — Ce que nous disons de la projection sur un plan s'applique à la projection sur un axe faite parallèlement à un plan déterminé.
6. Relation entre la vitesse d'un point mobile et les dérivées de ses coordonnées par rapport au temps. Le mouvement d'un point mobile dans l'espace aéra paifaitement défini si on connaît à chaque instant ses cooi^ données x, y, z, c'est à dire si x, y, z sont des fonctions connues du temps.
x = nt), S = 9 (0.
CINÉMATIQUE.
-, dos dp dz
d?' lî' dï ^°^^ '®^ vitesses de la projection du mobUe sur
les axes. On a donc, si les axes sont rectangulaires et si a, g, y sont les angles de la vitesse du mobile dans l'espace avec la partie positive des axes,
dx -du
^ = Vcoso., j|=Vco8p.
dz ^
5^ = Vcos-r.
=vm-mHïï-
nff.96
7. Cas des coordonnées polaires. — Il existe d'autres modes de décomposition de la vitesse. Supposons le mouvement plan et la trajectoire du mobile rapportée à des coordonnées polaires p et 0.
L'arc élémentaire MM' = ds de la trajectoire peut être considéré comme la résultante des deux longueurs :
MK =p(îe, et
KM.' = rfp,
la première perpendiculaire au rayon vecteur OM, la seconde comptée suivant ce rayon, dans les sens respectifs des accroissements de 6 et de p. Par suite, la vitesse V a deux composantes :
de dp
dans ces mêmes directions et sens, et sa valeur est :
vm
d^ df
La première composante :.
a reçu le nom de vitesse de circulation; la seconde -^ de vitesse d'entrainement ou de glissement ; enfin le mpport :
. MOM' 1 .de
se nomme vitesse aréolaire.
dp On sait que la sous-normale 01 = ^' P^tr conséquent :
dp
dt
La sous-normale est donc égale au rapport de la vitesse de glissement à la vitesse angulaire, La vitesse angulaire est la vitesse de circulation d'un point situé à une distance de l'origine égale à l'unité.
8. Méthode de Roberval pour mener les tangentes aux courbes. — Pour arriver à déterminer les tangentes aux courbes, Roberval considère une courbe comme engendrée par le mouvement d'un point mobile ; la vitesse en chaque point est la direction de la tangente à la courbe.
Si donc nous pouvons trouver, soit les vitesses simultanées des projections d'un point de la courbe sur deux axes coordonnés rectangulaires ou obliques, soit la vitesse de circulation et la vitesse de glissement dans un système polaire quelconque, nous aurons par une construction connue la vitesse propre du point mobile et ..la direction de cette Vitesse qui est celle de la tangente. 11 n'est pas même
CINÉMATIQUE. 159
nécessaire de connaître ces vitesses simultanées elles-mêmes, mais seulement leur rapport, pour avoir la direction de la tangente.
Exemples. — !• Tangente à Tellipse. — Si nous considérons le point F comme pôle, la vitesse du point M sur la courbe se composera d'une vitesse de glissement le long du
rayon vecteur que nous représenterons par MP, et d'une vitesse de circulation pei^pendiculaire au rayon vecteur. Si donc nous portons à partir du point P sur la perpendiculaire PT une longueur égale à la vitesse de circulation, le point T sera un point de la tangente. Mais si on prend pour pôle le point F', on obtiendra encore un point de la tangente en portant sur le rayon vecteur une longueur MP' égale à la vitesse de glissement et sur la perpendiculaire P/ T une longueur égale à la vitesse de circulation. Or, en désignant par p et p' les rayons vecteurs, les 'vitesses de glissement sont pour le* point M :
dp 1}
dp/
Mais à cause de la relation :
dp dp'
'di'~'~'dt'
Donc les longueurs MP et MP' sont égales et doivent être portées en sens contraire. Si Tune est dirigée de F vers M, Tautre le sera de M vers F' ; par suite les deux triangles PMT,
160 ' COURS DE MÉGANIQUE.
P'MT sont égaux et la droite MT est bissectrice de l'angle PMF\
2'* Tangente à la conchoïde. — La définition de la conchoïde
de Nicomède peut être généralisée de la manière suivante ;
Soit une courbe quelconque AB, je mène un rayon vecteur quelconque d'un point fixe et je prolonge ce rayon vecteur d'une quantité constante MM'; il s'agit ♦de trouver la tangente à la courbe, lieu des points M'.
Si nous élevons au rayon vecteur OM une perpendiculaire Mm égale à la vitesse de circulation de ce point, la perpendiculaire mP élevée à Mm jusqu'à la rencontre de la tangente MT représentera la vitesse de glissement du point M.
Faisons la même construction pour M'. Les vitesses de circulation des deux points M et M' étant entre elles comme les rayons vecteurs OM, OM', le point m' que nous obtiendrons sera sur la droite Om prolongée; d'ailleurs, la distance MM' étant constante, les vitesses de glissement des points M et M' sont égales. Donc m'P' = mP. De là on conclura facilement la construction de la tangente en M', si Mm est connu; or il est évident qu'il n'est pas nécessaire de connaître la vitesse de circulation Mm du point M et qu'on retrouvera absolument la môme construction si la grandeur arbitraire Mm est avec cette vitesse dans un rapport quelconque.
