Accélération daiu an mouvement quelconque. ~ De
la définition de raccélération dans le mouvement rectiligne nous passerons facilement à la définition de l'accélération dans un mouvement quelconque.
Soient M et M' les positions du mobile aux temps t cl t + à-t; MT et M'T' les vitesses du mobile à ces deux instants. Menons ME égale et parallèle à M'T'; T£ sera la variation géométrique de la ' vitesse pendant le temps i(.
Loipque le temps ii tend vers zéro, la pai'allèle à TE menée par le point M tend vers une position limite MI, et la limite de la grandeur TË &t
portée sur MI est oe que nous appellerons l'accflération du mobile au -temps t. La droite MI est située dans le plan OHCulateur delà courbe au point M, puisque le planTMEestt à la limite le plan osculateur.
11. Gompoeantes tangentielle et normale de l'accélératloii. — Notlfi avons TU ipic raccétéraUon ent sitttée dans le
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p!an oaculateur, on détermine ordinairement cette quantit géométrique par ses projections sur la tangente et sur 1 normale principale à la courbe.
Soit MT ^= V la vitesse du mobile au temps t,
M'T' ^(;-j-dc=:ME,
sa vitesse au temps infiniment voisin ( -h dt. L'accélératio
est égale en grandeur à -37 et ses projections sur la tangent
Fia 100 3-^ ^^ ^^ normale principale égi
' -"^ les respectivement à :
TK EK
dt' dt'
Or, si nous appelons e l'angle do contingence, nous avons
TK = (c + dp) C03 s — » = dv cos (,
ou simplement -r- en négligeant les infiniment petits di second ordre.
On a de même :
EK (» + rfr)sin£ "57"" dt
ou simplement :
|K (y + de) I (F + de) s MM' dt dt ~ MM' ^ dt ■
Remarquant que :
mF~p'
p désignant le rayon de courbure de la courbe, et : MM'
, en négli^ant les infiniment petits du second ordre :
dt ~ p' !S valeurs des accélérations tangentklle et normale donc :
i projection de l'accéléi'ation sur la tang'ente est égale â '.rivée de la vitesse considérée comme fonction du temps; 'ojection sur la normale principale est égale au carré i,vitesse divisé par le rayon de courbure.
le mouvement du mobile est uniforme, la vitesse du ile étant constante, sa dérivée est constamment nulle; élérationtangentielle d'un pareil mouvement étant nulle, élération est constamment dirigée suivant la normale cipale et constamment égale à :
, de plus, le mobile se meut sur un cercle, l'accélération constamment dirigée suivant le rayon du cercle et
i. Projection de l'accélération sur un axe. — Soient :
= V, M'T' =: u + dv les .vitesses du mobile sur sa trajectoire aux temps ( et
01, /i\ ' ■ rt-\-dt. En menant ME égale
et parallèle à M'T', TE sera la variation géométrique de la vitesse pendant le temps dt.
Or si on projette le mouvement du point sur un Ekxe,
projection de MT et me projection de ME seront les
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vitesses dans le mouvement projeté aux temps t et t + dt. Par conséquent te projection de TE sera la variation de la vitesse dans le mouvement projeté pendant le temps df. Donc Taccélération
dt du mouvement projeté est bien la projection de l'accélération
TE
dt
du mouvem^t dans l'espace.
Le même théorème a lieu si on projette le mouvement sur un plan.
13. On déduit de là un moyen da trouver l'accélération totale d'un point mobile quand on connaît en fonction du temps ses coordonnées x, y, z relativement à un système d'axes concourants Oo?, Oy, Oz. Les quantités x, y, z sont en effet les distances à l'origine des trois points projections. Comme ces points se meuvent en ligne droite, ils ont pour accélération :
d^x (Py d^z
dT»' rf?' W
Ce sont les projections de l'accélération totale r sur chacun des axes, chaque projection étant faite parallèlement au plan des deux autres. Si les axes sont rectangulaires, on a :
-\/m-Qhm'
et pour les cosinus des angles que cette droite fait avec les
axes :
