Mouvement d'une figure plane dans son plan

Théorème. — Tout déplacement d'une figure plane dans son plan peut être produit par une rotation autour d'un point fixe. Supposons qu'un plan mobile glisse sur un plan fixe,

la position d'une figure dans le plan mobile sera parfaitement détertainée si Ton connaît les positions de deux de ses points. Supposons que la droite AB vienne occuper la position A'B'; menons des perpendiculaires aux droites AA', BB' en leurs milieux, ces perpendiculaires se couperont en un point 0. De l'égalité des triangles AOB, A' OB' on conclut facilement l'égalité des angles AOA', BOB' et l'on voit que la figure peut être amenée de sa première position à la deuxième par une rotation autour du point 0. A mesure que le déplacement A A' diminue, le point tend vers une position limite 0, qui porte le nom de centre instantané de rotation.

Remarque. — Considérons la figure à un instant quelconque, et supposons que son déplacement, au lieu d'être fini, soit infiniment petit; l'arc A A' parcouru par un point A de la figure différera infiniment peu de la corde A A', et, par conséquent, comme ce mouvement peut être produit par une rotation autour du centre instantané 0,, l'arc AA' différera infiniment peu de Tare de cercle décrit du point 0, comme centre avec 0, A comme rayon. On voit donc que les vitesses des différents points de la iigure sont les mêmes à un instant quelconque que si les différents points de la figure tournaient d'un angle infiniment petit autour d'un certain point Oj. On conclut de là que les normales aux trajectoires des différents points de la figure mobile concourent à chaque instant en un môme point. De là une méthode pour mener la normale et par suite la tangente à certaines courbes.

P' Exemple. — On sait que si une droite A B de longueur constante se meut entre deux axes rectangulaires, un point quelconque M de cette droite décrit une ellipse. Pour mener

la normale à cette ellipse au point M, remarquons que les normales aux trajectoires décrites par les points A et B sont Fig. 104. ï^^ perpendiculaires AO' et BO' aux axes. 0' est donc le centre instantané de rotation pour la position A B de la droite mobile et par conséquent O'M est la normale à l'ellipse en M.

IL — Soit encore AB une droite de longueur constante qui se meut entre deux cercles, les normales aux trajectoires des points A et B sont les rayons CA, C'B des cercles, leur intersection est le centre instantané de rotation et OD

Fig, 105.

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la normale à la trajectoire décrite par un point D de la

droite.

Théorème. — On peut se représenter le mouvement d'une figure plane dans son plan, en faisant roulei* une courbe mobile sur une courbe fixe sans glissement.

Pour arriver à nous représenter nettement le mouvement continu d'une figure plane dans son plan, supposons que la figure mobile tourne d'abord

d'un angle a autour d'un point 0, puis d'un angle «' autour d'un point 0', puis d'un angle «' autour d'un point 0', etc. ; traçons OO; = 00' et faisant avec 00' un angle «; menons par 0,' la droite 0;K telle que l'angle 00;K = 00' 0', et la droite 0;0; = O'O' telle que 0;0;K = a', etc.

La rotation autour du point de l'angle « amènera 00,' sur 00' et fera coïncider 0,'K avec O'O'; la rotation autour de 0' de a amènera 0,'0' sur O'O'. On voit donc que le premier polygone roulera sur le second.

Considérons maintenant le mouvement d'une figure plane dans son plan. Les différentes positions du centre instantané de rotation formeront une courbe dans le plan fixe. Considérons les différents points de la figure qui coïncideront successivement avec les différentes positions du centre instantané de rotation, nous aurons une deuxième courbe. Il est clair que le mouvement de la figure peut être produit par le roulement de la deuxième courbe sur la première sans glissement.

Fig. 106.

19. Houvfflnent d'un corps solide autour d'un point fixe. — Lorsqu'un corps solide a un point fixe, il est clair que la position du corps sera complètement déterminée si on connaît les positions de deux de ses points. Soit le point fixe, décrivons du point comme centre une sphère avec un rayon quelconque. Cette sphère déterminera une certaine figure dans le corps. Deux points A et B de cette figure viendront en A', B' dans la deuxième position du coi-ps. Joignons AB, A'B' par des arcs de grand cercle, et menons des arcs de grands " cercles pei-pendiculaires aux arcs de

grand cercle AA', BB' en leurs milieux. Ces arcs se couperont eu un point P, et il est clair que l'arc AB peut être amené de sa première position à la deuxième par une rohition autour du point P, autrement dit que le corps peut Stre amené de la première position à la deuxième par une rotation autour de l'axe OP. Donc :

Théorème. — Tout déplacement d'un corps solide autour i'un point fixe peut être produit par une rotation autour i'un axe fixe.

Remarque. — Si le mouvement du corps solide, au lieu i'être fini, est infiniment petit, l'axe de rotation OP tendra (■ers une limite OP, qui est l'axe .instantané de rotation à l'instant considéré. Tout mouvement fini d'un corps solide pouvant être décomposé en une suite de mouvements infiniment petits, on voit que tout déplacement fini du corps solide peut être produit par une suite de rotations infiniment petites lutour d'une série d'axes successifs qui passent tous par le point^O et dont l'ensemble détermine une surface conique. [Considérons un des déplacements infiniment petits du solide

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qui amène un point A du corps en A', la vitesse du point A sera égale à Tare A A' réellement parcouru par le point A divisé par dt, mais le mouvement infiniment petit du corps solide peut être produit par une rotation infiniment petite autour d'un axe 0P„ rotation dans laquelle le point A décrit un arc de cercle infiniment petit AA'. Cet arc de cercle étant, à la limite, égal à Tare réellement parcouru par le point A, on voit que :

Les vitesses des différents points du corps sont à chaque i7istant les mêmes que si le corps tournait autour d'un axe fixe avec une vitesse angulaire déterminée.