Mouvement le plus général d'un corps solide

Occupons-nous d'abord du mouvement fini d'un corps solide. Soient A, B, G... les positions initiales de différents points du corps ; A', B', C... leurs positions finales. On peut amener le corps de la première position à la deuxième en donnant à tous ses points une translation égale et parallèle à A A', puis en le faisant tourner d'un angle déterminé autour d'un axe convenablement choisi passant par le point A'. Le mouvement du corps solide peut donc être produit par une translation et une rotation. Il y a une infinité de manières de produire le mouvement du corps solide par la combinaison d'une translation et d'une rotation, car au lieu de partir du point A nous aurions pu partir du point B par exemple; mais dans ces différents systèmes de deux mouvements il y a toujours trois choses qui restent constantes :

1° La direction de Vaxe de rotation ne change pas.

Supposons qu'au premier système de deux mouvements composés d'une translation égale et parallèle à AA' et d'une rotation autour d'un axe A' a?, on substitue une translation égale et parallèle à BB', suivie d'une rotation autour d'un axe B'y, je dis que les deux axes A'ic, B'y sont parallèles. En effet, soit P un plan perpendiculaire à Pi! x^ la translation et-

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la rotation autour de Pi! x ramèneront dans une position P' parallèle à P qui est sa position finale. Or, la translation BB' conserve au planP sa direction, tandis que la rotation autour de B'j/ l'altère si B'j/ n'est pas parallèle à A' a?.

^ La translation projetée mv Vaxe de rotation conserve la même valeur.

Donnons au corps une translation égale et parallèle à A A', puis une rotation autour de A' x. La translation amènera B en B,, la rotation B, en B'. Or, comme B^B' est situé dans un plan perpendiculaire à Taxe, sa projection sur Taxe est nulle. La projection de BB' sur Taxe est donc égale à celle de BBi, c'est à dire à la projection de AA'.

dP L'angle dont il faut faire tourner le corps conserve une valeur constante.

En effet, considérons une droite L située dans un plan P perpendiculaire à la direction commune des axes, la translation A A' et la rotation autour de A' a: l'amèneront dans une position L' située dans un plan P' parallèle à P. La translation B B' ne change pas la direction de la droite, et comme la rotation autour de B'y doit l'amener en L', il faut que cette rotation soit la même que la première et égale à l'angle des droites L et L'.

21. Axe central. — Parmi les différents systèmes d'une translation et d'une rotation, il en existe un particulièrement remarquable, c'est celui où la translation est parallèle à l'axe de rotation. Si nous' considérons un plan P perpendiculaire à la direction commune des axes, pour amener une figure située dans ce plan de sa position initiale à sa position finale lorsque le plan est en P', il suffit de lui donner une translation égale et parallèle à la plus courte distance des deux plans, puis une rotation autour d'un point situé dans le plan P' ou autour d'un axe OZ perpendiculaire au plan P', et cemme le poiût é^t unique, l'axe OZ est aussi ttnique.

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n n'existe donc qu'un seul axe pour lequel la translation est parallèle à l'axe de rotation. On voit alors que le mouvement du solide consiste dans un glissement le long d'un axe suivi d'une rotation autour du même axe. Quand une vis pénètre dans son écrou, elle glisse le long de l'axe et en même temps elle tourne autour du même axe, mais rien n'empêche de supposer que la rotation totale a succédé au glissement total ; de même que dans le mouvement d'un corps solide on peut parfaitement supposer que le glissement et la rotation s'effectuent simultanément. On peut donc assimiler le mouvement d'un corps solide, entant qu'il s'agit d'un déplacement finira un mouvement hélicoïdal ; dans ce mouvement, les différents points du solide décrivent des arcs d'hélice de même pas situés sur des cylindres concentriques.

Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que du déplacement fini d'un corps solide. Si le déplacement, au lieu d'être finiy est infiniment petite on peut encore l'obtenir à l'aide du glissement le long d'un axe suivi d'une rotation autour du même axe, qui prend alors le nom d'axe instantané de rotation et de glissement.

Si, pendant le temps infiniment petit dt, le corps glisse le long de Vaxe instantané de la quantité dz et tourne autour de l'axe de l'angle da, l'arc élémentaire parcouru par un point du solide situé à une distance r de l'axe sera égal à :

et la vitesse V du même point sera par conséquent :

22» Houvement continu le plus général d'un corps solideé

— Le mouvement continu d'un co;^ps solide pouvant être considéré comme une suite de mouvements infiniment

petits ou de mouvements élémentaires ^ on peut se faire une idée de ce mouvement de la manière suivante.

Chaque glissement et chaque rotation infiniment petits se font autour d'un axe instantané dont Tensemble constitue une surface S. Désignons par A^ A„ A|... les génératrices successives de cette surface et considérons le corps au moment où vont s'effectuer les deux mouvements élémentaires autour de A,.

On peut concevoir dans le corps une série de droites que la suite des mouvements élémentaires amènera successivement à coïncider avec A„ A,... ; désignons-les par A^, A[..., leur ensemble formera une deuxième surface réglée S'. Il est facile de voir que les deux surfaces S et S' ont non seulement constamment une génératrice commune, mais encore qu'elles sont constamment tangentes le long de cette génératrice commune. En effet, le glissement le long de A, n'empêche pas les deux surfaces d'avoir une génératrice commune, mais la rotation autour de A^ amenant la génératrice A,' à coïncider avec A„ on voit qu'à la fin de chaque série de deux mouvements élémentaires les deux surfaces ont deux génératrices infiniment voisines communes, autrement dit qu'elles sont tangentes le long d'une génératrice. On voit donc qu'on peut se faire une idée du mouvement du corps solide en imaginant que la surface S roule sur la surface S', chaque roulement élémentaire étant accompagné d'un glissement élémentaire le long d'une génératrice commune.