Théorème de CorioUs

— Soient AB la trajectoire relative du point M au temps t, A'B' cette trajectoire au temps t -i- dt, MM' la trajectoire du point M considéré comme appartenant au système S. En vertu du mouvement d'entraînement du système S dans le système S', le point M sera venu en M' au temps t -h dtet sa trajec-

toire relative en M'Mi. Si nous prenons les arcs M' M,' = MM, = vdt, V étant la vitesse relative, nous aurons en M,' la position réelle du mobile au temps t + di.

Menons en M des tangentes MC, MD aux courbesAB, MM' et portons sur cestangentes des longueurs MC, MD égales à vdi et v'dt, v et v' étant les vitesses relatives et d'entraînement du point M. En achevant le parallélogramme MCKD, MK sera la direction de la vitesse absolue V du point M, et l'on aura :

MK = Vii/;

par conséquent KM,' sera la direction de l'accélération du point M dans son mouvement absolu et l'on aura la grandeur

de cette accélération en multipliant KM,' par j--

Mais pour amener la trajectoire relative dans la position A'B', nous pouvons d'abord donner au système S un mouvement de translation qui amènera cette trajectoire relative en A,B„ puis un mouvement de rotation autour d'un axe xy passant par le point M' qui l'amènera dans sa véritable position A'B'. Si le mouvement de rotation n'avait pas lieu, le point M serait parvenu en un point m tel que :

l'arc M'm = MM, = vdt,

la rotation l'amène dans sa véritable position M,'. Cela posé, achevons le parallélogramme M, CKF et joignorts Fm. La droite KM,' est la résultante géométrique des droites KF, Fm, t»M,'.

La première KF étant égale à M,C, multipliée par tt,

représente l'accélération J du mouvement relatif.

La deuxième Fm = DM' multipliée ^[Elément par t-,

représente l'accélération dans Je mouvement d'entraînement du point M.

CINÉMATIQUE. 183

Quant à la troisième m M,' nous allons la déterminer. Remarquons que si « représente la vitesse angulaire de rotation du système S autour de Taxe xy et si p représente la longueur de la perpendiculaire abaissée du point m sur Taxe xtfy on a :

Or:

p = M' M.' sîn a,

et désignant l'angle de Taxe instantané xy avec la tangente "en M' à la trajectoire relative ; et comme :

mM[ =Viùd1^ sin a,

cette quantité multipliée par ^, est donc égale à :

îtùv sin a.

Par conséquent la quantité KM,' X ^ ou l'accélération G

dans le mouvement absolu est la résultante géométrique de trois accélérations :

1<> L'accélération J dans le mouvement relatif;

2<> L'accélération J' dans le mouvement d'entraînement;

3** Une troisième accélération J' = 2(i)f?sina perpendiculaire au plan qui passe par la vitesse relative et l'axe instantané de rotation et dirigée dans le sens où la droite qui représente l'extrémité de la vitesse relative tend à se mouvoir dans la rotation autour de xy. On lui donne aussi le nom d'accâération complémentaire .

Ce théorème est àd à Coriolis.

29. Applications. L — Point en repos absolu par rapport à un système d'axes qui tourne uniformément autour d'une droite fixe.

Fi^.113.

ÀB

184 COURS DE MÉGANIQUE.

Soit M le point donné et supposons que la rotation ait lieu autour d'un axe vertical projeté en dans le sens de la

flèche f. Pour un observateur emporté avec les axes, le point semble décrire un cercle avec une vitesse MB = wr égale et contraire à la vitesse d'entraine- *

nient M A = w r qu'aurait le point

M s'il était lié aux axes.

Cherchons l'accélération dans le mouvement absolu du point M.

Les accélérations des mouvements relatif et d'entraînement sont chacune égales à wV et toutes deux dirigées de M vers 0. Quant à l'accélération complémentaire, elle est égale à la vitesse que prend l'extrémité G d'une droite telle que MG == 2MB. En vertu d'une rotation w autour de l'axe projeté en M, cette vitesse est :