Composition d'une translation et d'nne rotation
Considérons un'solide animé à !a fois d'une translation et
Fig.115
CINÉMATIQUE. 487
d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire à la direction de la translation. Soient V la vitesse de la translation, u) la
vitesse angulaire de la rotation.
Menons un plan quelconque perpendiculaire à l'axe de rotation.
Soient la projection de Taxe sur ce plan, AB la direction de la translation. Abaissons du point une perpendiculaire sur AB et prenons sur cette perpendiculaire une longueur ô' telle que
V = (D XOO'.
Il est facile de voir que le point 0' reste fixe pendant les deux mouvements élémentaires du corps solide. En effet, pendant le temps df, le point 0' s'élève au-dessus de 00', en vertu de la translation, d'une quantité égale à :
\dt;
en vertu de la rotation autour du point 0, il s'abaisse audessous de cette même droite, de :
00' X <ùdt ou de YdL
Le point 0' reste donc immobile et le mouvement du corps solide est une rotation autour de i'axe projeté en 0'. Il est facile de voir que la vitesse angulaire de cette rotation est w. En effet, en vertu de la translation, le point s'élève pendant le temps (2 ^ de la quantité :
ydt = iù XOO' Xdt,
et il ne se déplace pas en vertu de la rotation autour du point 0. Or, si nous appelons w' la vitesse angulaire de rotation du corps autour du point 0', le déplacement du point en vertu de cette rotation est :
00' Xtù'dt,
On a d'?nc :
00' X u)'(i( = w X (iO'df,
Quant au sens de la rotation autour du point 0', il est facile de voir (ju'il est le sens de la rotation autour du point 0.
33. Composition de deux rotations autour de deux axes parallèles. — Soient et 0' les projections des deux axes sur un plan perpendiculaire
, à ces axes. Supposons d'abord ^ que les deux rotations soient de môme sens et qu'elles
■ — — , aient lieu avec les vitesses
angulaires m et w' autour des axes. Prenons sur la droite un point M tel que l'on ait :
Il est facile de voir que le point M reste immobile, car il se déplace de deux quantités égales et de sens contraires
w X OMdï et u' X O'Mdi,
en vertu de chacune des rotations autour des axes et O'. Le mouvement résultant est donc une rotation autour du point M. Pour trouver la vitesse angulaire u, de cette rotation, remarquons que le point 0' se déplace, en vertu de la rotation autour du point O, de la quantité
M X 00' dt,
et en vertu de la rotation autour du point M, de la quantité
.-, X Mt)' dt.
On a donc : <
«, xMO' = wxOO',
CINÉMATIQUE,
OU
Cl)
