MO

donc

Quant au sens du mouvement résultant, il est évidemment le même que celui des deux mouvements composants.

34. En raisonnant comme nous venons de le faire, on verra que si les deux vitesses angulaires sont de sens contraires, la composition des deux mouvements donne encore lieu à une rotation avec une vitesse angulaire égale à la différence des deux vitesses angulaires dans le sens de la plus grande. Pour obtenir la position de Taxe de rotation 0„ supposons 0) >(«)'; il faudra prendre sur la droite 00', prolongée au delà du point 0, un point Oj dont les distances aux points et 0' soient dans le rapport inverse des vitesses de rotation w et w' .

35. Composition de deux rotations autour de deux axes concourants. — Axe représentatif d'une rotation. — Avant

de nous occuper de la com-

\\ pj ||-r position de deux rotations,

\ "' nous allons donner un moyen

V , de représenter les éléments

/ ^ caractéristiques de la rotation

d'un corps solide. On porte sur Taxe de rotation, à partir d'un point A, une longueur AO égale à la vitesse angulaire o> et dans un sens tel, qu'un observateur ayant les pieds en A et la tête en voie le

mouvement s'effectuer dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est à dire de gauche à droite. Cette droite OA ainsi déterminée est appelée Yaxe représentatif de la rotation.

Cela posé, supposons qu'il s'agisse de composer deux rotations dont les axes représentatifs sont OA et OB. Le

point restant fixe en vertu de chacune des rotations, le mouvement résultant sera une rotation autour d'un axe passant par le point 0. Je dis que cet axe est la diagonale du parallélogramme construit sur OAet OB. En elTet, en vertu de la preniièro rotiition, un point C s'élève au-dessus du plan AOB de

iù X CPrf^

et en vertu de la deuxième, il s'abaisse au-dessous du même plan de :

Or, les deux triangles CAP, CBQ sont semblables et on a :

CQ~"CB "" w'

Les deux déplacements du point C sont donc égaux et de sens contraires. Le point C reste donc immobile, et par conséquent le mouvement est une rotation autour de Taxe OC.

Pour trouver la vitesse w, de cette rotation, remarquons que le point B se déplace, en vertu de la rotation autour de A, de la quantité

(1) X BK dr,

CINÉMATIQUE. 191

et en vertu de la rotation autour de C, de :

Or, (I) X BK représente Taire du parallélogramme OABG, mais cette aire est aussi représentée par :

OC X BS,

donc :

On voit donc que le mouvement résultant est une rotation dont l'axe représentatif est OC. L'axe représentatif du mouvement résultant est la diagonale du parallélogramme construit sur les axes représentai f s des mouvements composants.

36. Remarque. — Si on avait à composer plus de deux rotations autour d'axes concourants, le mouvement résultant serait encore une rotation et Ton obtiendrait Vaxe représentatif de cette rotation en construisant le polygone des a^es représentatifs des mouvements composants. En particulier, on composera trois rotations autour de trois axes concourants en construisant le parallélipipède dont les côtés sont les aa)es représentatifs des trois mouvements concourants. La diagonale de ce parallélipipède sera Vaxe représentatif du mouvement composant.

On peut de même décomposer une rotation autour d'un axe OA en trois autres autour de trois axes Oa?, Oy, Oz, en achevant le parallélipipède ayant A pour diagonale et ses côtés dirigés suivant Ox^ Oj/, Oz. On obtiendra ainsi les axes représentatifs des trois mouvements composants.

37. Composition de deux rotations autour d'axes non situés dans le môme plan. — Soient AB, CD les directions des deux axes de rotation, que nous supposerons non situés dans un même plan. Par un point quelconque I de CD

menons KL parallèle à AB, nous pouvons, d'après ce que nous avons vu (32), décomposer la rotation autour de AB en une rotation autour de KL çt une translation perpendiculaire au plan des deux axes AB, CD. La rotation autour de KL se composera avec la rotation autour de CD et donnera encore une rotation. Cette rotation combinée avec la translation donnera un mouvement hélicoïdal.

CompDiitiDii de daoz monTemsnti qnelconqaBa d'nn goiim lolida-

38. Chacun des mouvemenls élémentaires poui'ra être remplacé par une translation et une rotation, les deux rotations donneront une rotation et une translation. On aura donc à combiner trois translations et une rotation; les trois ti-anslations se composeront en une translation unique qui, conibinéeavecla rotation, donnera un mouvement hélicoïdal. ,

39. Remarque importante sur la décomposition d'un moQvdment élémentaire quelconque d'un corps solide. — Considérons un corps solide rapporté à trois axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy, Oz, et considérons un point du solide ou lié invariablement à lui qui coïncide avec le point O à l'origine du n'iouvement. Tout mouvement élémentaire du corps solide peut être remplacé par une translation égale et parallèle à celle du point et en une rotation autour d'un axe passant par le point 0. La translation peut être remplacée par trois translations parallèles aux axes Ox, Oy, Oz et la rotation par trois rotations autour des mêmes axes. Le mouvement élémentaire peut donc être remplacé par trois translations et trois rotations.