RÉamOQUEMENT. — Si un point matériel est animé
d'un mouvement rectUigne uniformément varié, la force que
sollicite le mobile est constante.
Soit, en effet, dans le mouvement observé :
Le mouvement n'étant pas uniforme, le point M est soumis à une certaine force : je dis quecette force est constante. Pour le montrer, supposons qu'on fasse agir sur le point partant de sa position initiale avec la vitesse v,, une force constante F', nous aurons un mouvement uniformément varié dans lequel la vitesse v' sera :
Y est nul avec F', et augmente constamment avec F'. Noua trouverons donc une valeur F, de F' , telle que f' ^ y ; alors, v' sera constamment ^al à v. Je dis que F, est constamment égal à F. Car, si entre les époques T et T' on avait constamment F < F„ il serait impossible que le mobile ayant la môme vitesse à l'époque T sous l'action des forces F ou F„ ait aussi la même ■vitesse à l'époque T' ; car, dans l'intervalle, l'accroissement de vitesse dû à la force F, devrait être plus grand que l'accroissement de vitesse dû à la force F.
6. Application à la pesanteur. — L'expérience montre que le mouvement d'un corps qui tombe dans le vide, est unifor^ mément accéléré ; l'accélération est la même pour tous les corps. A Paris, la valeur de cette accélération est : 9 = 9",8088.
Le théorème précédent montre que la force qui produit le mouvement d'un corps est constante pendant toute la durée du mouvement ; c'est la force qui sollicite le corps au départ, le poids P du corps.
7. Théorème II. — Lorsque deux forces constantes agissent successivement sur un même point matériel partant du repos, elles lui impriment des mouvements uniformément variés dont les accélérations sont proportionnelles aux forces.
Nous allons d'abord démontrer le lemme suivant :
Lemme. — Deux forces constantes F et F', de même direction, agissant simultanément sur un même point matériel partant du repos, lui impriment un mouvement rectiligne uniformément accéléré, dont Taccélération est la somme des accélérations des mouvements dus aux forces agissant séparément sur le mobile. Soient, en effet, r et y' les accélérations de ces mouvements séparés; imaginons une série de points matériels, partant du repos et soumis chacun à la force constante F; ces points vont prendre le môme mouvement uniformément accéléré d'accélération Y- La vitesse v de ce mouvement de translation sera, à répoque t :
Faisons maintenant agir la force F' sur Tun des points seulement M du système ; le mouvement relatif de ce point sera le même que si le mouvement de translation n'existait pas. Ce sera donc un mouvement uniformément accéléré, d'accélération y' , dont la vitesse v' sera s
Le mouvement absolu du point M s'obtiendra en composant deux mouvements uniformément accélérés, de même direction ; ce sera encore un mouvement uniformément accéléré, dont la vitesse V sera égale à (y + y') t. L'accélération y + ï' de ce mouvement est bien la somme des accélérations des mouvements produits séparément par les forces F et F'.
Ce lemme s'étend à un nombre quelconque de forces;
l'accélération due à la force nF, n étant entier, est n fois l'accélération due à la force F.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème énoncé. Soient F et F' les deux forces, y et y' les accélérations des mouvements uniformément accélérés qu'elles produiraient, si elles agissaient séparément sur un même point matériel partant du repos. Supposons que les forces F et F' aient une commune mesure F'.
D'après le lemme précédent, on aura :
d'où:
Il est facile d'étendre la démonstration au cas où les forces n'ont pas de commune mesure.
8. Définition de la masse. — Soient F, F', F'... différentes forces constantes, y, ïS y'--, les accélérations des mouvements qu'elles produisent en agissant séparément sur un même point matériel. On a, d'après le théorème précédent :
On en conclut :
ï Y' Tf'
Ainsi, quand différentes forces constantes agissent séparément sur un même point matériel, le rapport de chaque force à l'accélération correspondante est constant; ce rapport qui est constant pour un même point matériel, varie quand
» : •'. «■-.-'ïl .' 'î. ■. .'
on passe d'un point matériel à un autre ; il y a là quelque chose de particulier, de caractéristique, pour chaque point matériel ; c'est ce qu'on nomme sa masse ; ainsi, on a, en la désignant par m :
— — — — ■"■; — ^^ • • • ^^ fJfk
d'où:
F = WY, F' = m^\ F' = m^'.
Les points matériels n'entrent en dynamique que par cette constante : la masse. On voit que la masse est le rapport de deux nombres qui représentent l'un la force, l'autre l'accélération correspondante ; le premier nombre dépend de l'unité de force, le second de l'unité de longueur et de l'unité de temps. On a choisi le kilogramme pour unité de force, le mètre pour unité de longueur, la seconde de temps moyen pour unité de temps. L'évaluation de la masse dépend de ces trois imités.
Dans le cas où la force F agissant sur le corps se réduit à son poids, y devient égal à jf et on a :
ce qui donne un moyen très simple d'évaluer la masse d'un corps.
On voit par là que la masse d'un corps est proportionnelle à son poids ; il est facile de trouver le poids de l'unité de masse. Si, dans l'égalité ci-dessus, on fait m = 1, on a : P=^; ainsi, le corps dont la masse est 4 pèse gf kilogrammes.
Densité. — Dans un corps homogène, des volumes égaux ont des poids égaux et, par suite, des masses égales ; la masse
est donc proportionnelle au volume, et Ton a, en désignant par D un coefficient constant, m la masse, V le volume :
w = YD.
D est la densité; on voit que c'est la masse de Tunité- de volume.
Le poids spécifique p est le poids de l'unité de volume ; soit donc P le poids du corps ; on aura :
d'où :
telle est la relation qui lie la densité et le poids spécifique d'un corps.
Le poids spécifique de Teau est le poids d'un mètre cube d'eau en kilog. p = 4000. Oii en déduit :
CHAPIÏRE II
MOUVEMENT REaTIUSHS D'UN POINT MATÉRIEL.
9. L'étude du mouvement rectilîgne d'un point matériel repose sur le théorème suivant :
Théorème. — Dans un mouvement rectilîgne quelconque, V accélération est à chaque instant égale à la force divisée par la masse.
Nous avons déjà démontré le théorème pour une force constante, nous allons le démontrer pour une force d'intensité variable. Supposons qu'un point matériel, possédant une certaine vitesse initiale, soit solUcité par une force d'intensité variable, mais de direction constante, cette direction étant celle de la vitesse initiale ; il est évident que le mouvement du point sera rectiligne, varié, mais non uniformément varié. Soient y l'accélération du mobile au temps <, F la valeur de la force à cet instant; considérons le mouvement entre le temps t et le temps t + M; désignons par ir et v + A t; les vitesses aux temps f et f + Af, et soient dans cet intervalle F| et F, la plus petite et la plus grande valeur de F, en sorte que nous ayons pendant le temps A f :
L'accélération correspondante à la force constante F^ est
Yj =— ; si la force F restait constamment égale à F„ elle
produirait dans le temps At un accroissement de vitesse
i DYNAMIQUE. 203
égal à :r^t; de môme, si la force F était constamment
égale à F,, elle produirait l'accroissement de vitesse -z: ^t*
L'accroissement de vitesse observé At; sera évidemment compris entre les deux accroissements ci-dessus ; donc :
m It m
Si Ton fait tendre A< vers zéro, — et — auront pour limite
' III fil
commune - et l'on aura :
l dv__
Telle est l'expression de la force dans un mouvement rectiligne quelconque; elle est de même signe que dv; de sorte qu'en employant cette formule^ on regarde la force comme positive quand elle tend à augmenter la vitesse, et négative quand elle tend à la diminuer. Soit un point fixe sur la droite ; la position du mobile M sera déterminée par la distance M = a? ; nous regarderons x comme positif quand le point M sera à droite du point 0, et négatif quand le point M sera à gauche ; on aura toujours :
dx
La vitesse sera positive quand le mouvement aura lieu dans le sens des x positifs ; si la force F agit dans ce sens,
elle augmentera la valeur algébrique de v, dv sera positif; si elle agit en sens contraire, dv sera négatif. Ainsi, dans les applications que nous ferons de l'équation (1), nous affecterons la force F du signe + quand elle agira dans le sens des X positifs, du signe - quand eUe agira dans le sens des X négatifs. Si plusieurs forces agissaient sur le mobile, on appliquerait à chacune d'elles la règle ci-dessus relative au signe. En remplaçant dans (1) v par sa valeur (2), on a :
Telle est l'équation du mouvement.
Dans le cas le plus général, F dépendra de la position du mobile, de sa vitesse et du temps ; on aura :
L'équation (3) sera donc une équation différentielle du second ordre; son intégrale générale contiendra deux constantes arbitraires C et C :
La présence des deux constantes tient à ce que les problèmes qui ne diffèrent du problème proposé que par la position
(dx\ ^j du point matériel pour f = 0, conduisent à la môme équation différentielle (3). On achèvera la solution en résolvant les deux équations :
par rapport à C et à C, et reportant ces valeurs dans (4). 10. Oiî ne sait pas en général intégrer l'équation (3) ; nous
considérerons un certain nombre de cas particuliers où cette équation peut être intégrée.
1® F dépend seulement du temps. On a :
On en tire :
dx
ix C
mx = mx^ -f- mv
2<> F dépend seulement de x :
.« + /'[/V(4rf^]d^.
On en conclut
idX -r-z- = ' ' dx,
dr m
d.m'=^-mdx,
\dt/ m '
et en intégrant :
/dxY
En résolvant par rapport à d f , et intégrant, il vient :
âO0 C0UR9 DE MÉCANIQUE.
3^ F e$t une fonction d$ v ;
V = fiv), d^s> de .. .
d'où :
. .^ mvdv
dot) = vdt = :
En éliminant v entre (5) et (6), on aura x en fonction de L
Remarque. — Dans ces trois cas, on a déterminé les constantes d'intégration de manière que, pour f =^ 0, on ait : ic = a?o, et V = Vq.
Application de ce qui précède. — Exemples de mouTement reotiligne.
