Mouvement vertical des corps pesants dans le vide
— Prenons Taxe des x vertical et dirigé vers le bas ; considérons d'fidDord le mouvement descendant. Nous aurons,
dx
si, pour t = on a a; = 0*
Considérons maintenant le mouvement ascendant. On a alors :
xzzzivJ-^igfK
DYNAMIQUE. â07
Le corps monte jusqu'à ce que sa vitesse soit nulle, c'est à dire jusqu'à ce qu'on ait : f, == -^» alors :
A partir de cet instant il redescend, et il est facile de voir que, revenu au point de départ, il a précisément la vitesse avec laquelle il avait été lancé ; seulement cette vitesse est dirigée en sens contraire.
12. Mouvement vertical d'un point matériel pesant dans un milieu résistant. — Les particules du milieu mises en mouvement, réagissent sur le corps pesant qui tombe, et déterminent une résistance à son mouvement. Cette résistance est une fonction de la vitesse v; nous la supposons
égale à mg ^^ K étant un coefficient qui dépend de la forme
du corps, mais qui reste constant pendant le mouvement. En dirigeant l'axe des x suivant la verticale, et supposant que le mouvement ait lieu de haut en bas, on aura :
dv t* .
d'où :
(1) gdt = -^'
formule que Ton saura toujours intégrer, quand n sera entier. L'expérience montre que, pour des vitesses très faibles, on peut admettre n = 4 ; pour des vitesses moyennes inférieures à 200 mètres, n = 2, et enfin n = 3 pour des vitesses considérables, telles que celles des boulets de canon* Nous nous bornerons ici à considérer le cas de n === 2. On
a alors :
d'où, en admettant que l'on ait v = 0, pour i = :
d'où, en intégrant :
ic = — log (e " + e ~^j 4- C.
Si l'on a pris pour origine la position initiale du mobile, oa devra avoir x =; 0, pour i = 0; donc ;
logî
ell
on a
les deux formules :
En éliminant ( entre (3) et (4), on aura x en fonction de v. On peut wicore obtenir cette relation de la manière suivante :
de (A) on tire :
KK — t; KK+t;
et par conséquent :
gt --gt
Remplaçant dans (3) il vient :
(5) X=- — lOg —^=z=z = â' 'og Ui i •
Les formules (3), (4) et (5) renferment la solution complète du problème ; on en déduit cette conséquence, que le temps augmentant sans cesse, le mouvement approche de plus en plus de l'uniformité, et qu'il est sensiblement uniforme quand la vitesse g t provenant de la pesanteur est devenue très grande par rapport à K. On peut écrire en effet (3) et (4) comme il suit :
[fft -1 • •
et, en négligeant alors Texponentielle e ^ , qui est une très petite fraction, il vient :
x = K(—-lQe 2,
e = K; Despeyrous. ■— Mécanique. 14
SIO COUHSI DK MÉCANIQUE.
ces équations représentent bien un mouvement uniforme, de vitesse K ; il convient de remarquer que la force motrice
m g ( 1 — ^ j devient nulle à la limite quand on fait v = K.
Remarquons que le temps au bout duquel le mouvement devient sensiblement uniforme, est d'autant plus grand que la valeur de K est plus grande ; car, pour que Ton ait :
6 étant une quantité positive très petite, donnée d'avance, il faut que Ton ait :
r>-log.,
expression qui croît avec K.
La résistance du fluide étant une force qui s'exerce à la surface du mobile, la force motrice qui en résulte est indépendante de la masse, et serait la môme, soit que le mobile fût formé d'une matière très dense, soit qu'on enlevât la matière intérieure et qu'on la réduisît à une enveloppe très mince ; la force motrice pourra être mise sous la forme mg — HSv', S désignant la surface et H une constante; la
HS
force accélératrice sera g v*, et, toutes choses égales
d'ailleurs, elle sera d'autant plus grande que m sera plus
, ^ Km
grand; on aura : K ^^—nz •
^ |/HS
C'est pour cela que le mouvement final, dans un milieu résistant) est le plus rapide pour le corps pesant dont la densité est la plus grande, la forme et l'étendue de la surface restant les mêmes.
Quand la densité du milieu est très faible par rapport à celle du mobile, K est très gi*âtid, et ce n'est qu'après un temps très long que le mouvement peut approcher de
DYNAMIQUE. îMl
runiformité ; on a en séries convergentes :
/ »* Tjei\ — 1-4- •- I - I- .
He * + e ^) * ^ 2K» ^ 24K' ^ ••*
e*- — r^ gt . ft* ^t gt , g*t*
logLtV +e 'J — 2K* 84K* 8K»
et l'on en conclut :
Ces formules se réduisent, comme cela devait être, aux formules du mouvement uniformément accéléré, pour K = oo .
