Le mobile est lancé de bas en haut dans le même milieu

Prenons encore pour axe des x la verticale, dirigée vers le haut. La force motrice est alors :

Si la surface supérieure du mobile est identitjue à la surface inférieure, K sera la même que précédemment. L*équation du mouvement sera :

dv — gdt— ï =K j-

Soit v, la vitesse initiale, on aura en intégrant, et déterminant la constante arbitraire de manière que v = v,, pour t = :

— gt , V ^ V, ^ K K -^ = arc tang. g -~ arc tg -• = arc tg —^

cos^

V^ COS —r — K Sin jr

. gt „ gt

D, sm Y -^ K cos ^

d'où :

dx = «d^ = — d. log f «?o sin Y + K ces ^ j> a? = — log ( t;, sin ^ -*- K ces ^- ) -*- C.

On déterminera la constante en remarquant que pour t = on a a? = 0, ce qui donne :

C = --logK, et par conséquent on a :

On aura aussi, en partant de (6) :

in

— igdx d.v'

et, en intégrant :

d'où, en déterminant la constante en remarquant que pour x = 0,v = v,:

Les formules (7), (8) et (9) résolvent complètement le problème. Appelons h la plus grande hauteur à laquelle le mobile parviendra, et qui répond à y = 0; soit 6, le temps qu'il emploiera pour y parvenir, nous aurons :

teo-'-Î!.

e, = ïarclg|-,

Parvenu à cette hauteur le mobile retombera, et son mouvement sera représenté par les formules (3), (4) et (5), Cherchons sa vitesse v' lorsqu'il sera retombé de la hauteur h ; (5) donnera ;

galant cette valeur à la valeur (11), il viendra : K* K* + I','

d'où :

On en conclut v' < i;^, en sorte que la vitesse du mobile, quand il sera revenu à son point de départ, se trouvera moindre que sa vitesse initiale. Dessous par 6' le temps qu'il met à retomber de la hauteur ft, et pour acquérir par conséquent la vitesse v' . La formule (4) donnera :

OU bien, en remplaçant v' par sa valeur (43) :

0' Œ 3- log ■ ' ■ '■ ' ' -• = - log

si 6 désigne le temps total Oj + 0' de l'allée et du retour du projectile. On en conclura :

^=arctgz^4-log-— =r