La Zot de résistance est quelconque. On a R = m^(v
Prenons encore pour axe des x la verticale et considérons d'abord le cas du mouvement ascendant. Si nous supposons la partie positive des axes dirigée en sens contraire de la pesanteur, nous aurons pour l'équation différentielle du mouvement :
— dv a^=: rT\^
flTNAMIQOE. 218
Xg + ^iv)
... — vdv
ax := vat ~'
Le mobile monte jusqu'à ce que v = 0. Soient T le temps qu'il emploie à jnonter, A la hauteur à laquelle il s'élève, on aura:
Pour le mouvement descendant, BuppoBom les x positifs dirigés dans le sens de la pesanteur ; noua aurons :
Soit t' le temps nécessaire pour que le mobile reprenne la vitesse v,, on aura :
En rapprochant cette formule de (1), on voit'que (' est plus grand que T.
Cherchons la vitesse du mobile, quand il repasse au point de départ A après ôtre tombé d'une hauteur h, il faut dans (3) remplacer v par une certaine valeur Vt et x par A, ce qui
donne :
Jo g — ^ (cl
En comparant cette formule à (2), on voit que Ton a Vi < v,. Ainsi le mobile revient au point de départ avec une vitesse moindre que la vitesse v^ qui serait nécessaire pour faire monter le mobile à la hauteur h.
Problèmes sur le mouvement rectiligne, dans lesquels la force motrice est une fonction de la distance & une origine fixe.
15. Mouvement rectiligne d'un point matériel attiré proportionnellement à la distance par un centre fixe situé sur la droite trajectoire.
Soit h Tattraction à l'unité de distance, à la distance x l'attraction sera hx. L'équation différentielle du mouvement sera :
m TT = — A^» ou en posant - = n*
Il est facile de voir que cette formule convient encore si le point M est situé à gauche du point 0. L'intégrale générale de l'équation (4) est :
x= A ces nt + B sin w/, et on en déduit :
r = -TT = — wA sin n^ + nB ces nt.
at
Pour déterminer les constantes, supposons d'abord le mobile placé en Mo à une distance a?o de l'origine et sans
vitesse initiale au temps f = 0. On aura :
a?, = A, B = 0, donc :
a? = a?, sin nty V = — wo?, cosnf.
On voit d'abord que si t augmente de — » x eiv reprennent
la même valeur, le mouvement est donc périodique.
Pour
t augmentant, x diminue, v est négatif et augmente en valeur absolue.
Pour
la valeur absolue de la vitesse est maxima.
Si t augmente de - » a? et v changent de signes en conservant la même valeur absolue.
Soient a?', v' et x\ v' les valeurs qui correspondent aux temps :
^ ""2» "' ^ -îii^^' on aura : ^
On a un mouvement oscillatoire dont la période T == —
