Représentation géométrique. — Prenons OMi=OM

pirfl2o^ = a;^ et décrivons un cercle sur

j\ M, M, comme diamètre ; imaginons

un mobile partant de M, et parcourant la circonférence d'un moumT M M# vement uniforme dans le temps T.

Soient N sa position sur le cercle au temps f, ? l'angle NOM„

Si8 COURS DE UÉCANIQUE.

on aura:

OM = ON C08 ? = a?, cos ni = x.

. Donc, la projection du second mobile coïncidera constamment avec le premier.

Le temps T est indépendant de a?,; quelle que soit la position initiale du mobile M„ il met le môme temps pour

revenir au point ; ce temps est -r • Le mouvement que Ton

vient d'étudier serait celui d'un point pesant dans un canal rectiligne étroit, traversant toute la terre et passant par son centre, en supposant la terre sphérique et homogène, ou composée de couches concentriques homogènes.

Supposons maintenant que pour i = on ait :

on aura pour déterminer lés constantes les deux équations :

a?o = A, t;« =: nB; d'Où :

a? = a?* cos nt '\"^ sm ni.

t? = — Ha?, sîn nt + », cos nt.

On peut faire :

a?. r= a cos H, ~ :;= a sin H, a > 0,

et on aura :

a? = a cos (nt — H),

v:=^-'na sin {nt — H).

Le mouvement est encore oscillatoire, et la durée T de Toscillation complète est encore égale à — » et, par conséquent, indépendante de x^ et de v^*

DTNAHIQUE. SIO

17. Mouvement rectiligne d'unpoint r^oiueé proportionnellement à la distance par un centre fixe situé sur sa trajectoire.

Soit X ,1a distance du mobile à l'origine 0, l'équation dilTérentielle du mouvement sera :

d'à; On en déduit :

dt'

- = «(Ae"* — Be— *)-

Soient x, et v« la distance initiale et la vitesse initiale du mobile. On aura :

Fig. 121 ar, = A + B, ^ = A— B,

tx = lœ, + ^J t" + IcBt — ^1 #-•',

2p = {nx, + p,) e" — (nx, — r,) e"".

18. Discussion. — Si v, est positif, a;, étant supposé l'être dans tous lea cas, il est évident que le mobile s'éloignera à l'infini.

Supposons maintenant y, négatif, et nx, + V, > 0; V s'annulera pour une valeur t^ de t satisfaisant à l'équation :

valeur admissible, car le second membre est plus grand ({uel.

On aura alors :

ix = e— ' r - {nx, — t^ + -. {nx, — p,)1.

fi-"'' (nx, — p,)

valeur positive; v changera ensuite de signe; ainsi le mobile va de M, en M„ puis de M, en M, et de M, à l'infini vers la droite; il ne passe pas au point 0.

Si, V, étant toujours < 0, on a nx, + v, < 0, v est toujours n^tif, le mobile va de M, en et de à l'inlini vei-s la gauche.

19. Mouvement rectiligne d'un point matériel attiré par l'origine par une force proportionnelle à la puissance 2n de la distance.

Kous aurons :

iPx

d'où, en multipliant par 2dx, et intégrant :

[dtj -^ in + i" ■

Nous supposons que le point ait d'abord été placé en M, sans' vitesse initiale; nous aurons pour déterminer C l'équation :

par suite ; Le mobile arrivera au point et passera vers la gauche.

La force tirant alors dans le sens X devra être considérée comme positive et Ton ri|.122 . devra prendre Téquation :

On en conclut :

(') (sf)" = «■ - i^rh ^•"■-

Pour déterminer la constante, nous ferons a? = 0, et nous aurons, en appelant v^ la vitesse en :

mais de (4) on tire :

donc :

L'équation (4) convient quand le mobile est à droite du point 0, Féquation (3) quand il est à gauche. Il est facile de voir à quoi tient cette particularité : quand le mobile est à droite, la force doit être considérée comme négative ; à gauche au contraire, elle doit être considérée comme positive. Or l'expression «a?** est positive dans les deux cas ; elle ne prend donc pas d'elle-même le signe convenable et il faut le mettre dans chaque cas.