Mouvement rediligne d'un point matériel attiré par
deux centres fixes situas sur la
Fi^. 123 trajectoire en raison inverse du
-le- — . carré de la distance. Je ne con-
sidérerai que le mouvement du point entre les deux centres fixes ; soient et O' les deux
ft
centres fixes ; on a, en désignant par m et m' les attractions de ces deux centres sur l'unité de masse à l'unité de distance, par a la distance 00' et par x la distance OM :
éPx — m dt^ ~ a?» ■*"
on en tire :
, dix^ — imdx
dt* ~~ X*
im'dx
(a — 0?)* et en intégrant :
^ dt* X a — X
Soient v, la vitesse initiale, x^ la valeur correspondante de X] on aura, pour déterminer la constante G, l'équation :
de (2) on déduit :
dx
dt=±
ou bien en posant :
(4) ^(0,) = !!? 4- iî^ + G,
(8) dt=.±-^,
Remarquons que f (oo.) étant égal à v\ est positif 4
On prendra le signe + si au début la vitesse v^ a été dirigée dans le sens 00'^ le signe -^ dans le cas contrairei
SU. Discussion. — Pour savoir si aï peut prendre toutes les valeurs comprises entre et 0', il faut voir si dans ceis limites f (x) est toujours positif. On voit par l'expression (4) de f {x) que cette fonction pour a? = e et a? £= d — t est positive et très grande, e désignant une quantité positive très petite ; ayons recours à la dérivée :
(7) |/'(ap)=— j- 4- ; n»
entre a? = et a; = a, cette dérivée s'annule pour la valeur x=^x^ définie par Téquation :
d'où:
m ml
Vm'
X* - (a - xr
a — Xi
Vm
~' " Km + k»'
/» /ir» — n
y m 4- Vin!
Donc, entre a? = et a; = a, f {x) atteint seulement un minimum, et cela pour x =^ x^\ on trouve pour ce minimum :
Si ce minimum est positif, f (x) ne s'annule pas entre les points et 0' ; le mouvement se continue dans le même sens; ainsi le point mobile ira tomber sur 0', s'il a d^abord été lancé dans la direction 00' ; dans le cas contraire, il ira tomber sur 0. En remplaçant C par sa Valeur (3), nous voyons que ce cas se présentera quand on aura :
Si f {x) <0y f (x) s'annulera entre zéro et a pour deux valeurs, Tune oj' < a?„ l'autre ic' > a?,.
Si x^< x\ et si le mobile est lancé dans le sens 00', il s'éloignera de jusqu'à la distance a?' ; alors a; devra diminuer, et le mobile retombera en 0.
Si x^ > x\ et si le mobile est lancé dans la direction 0' O, x décroîtra jusqu'à x"y après quoi il croîtra, et le mobile ira retomber en 0'; ce cas se présentera si Ton a :
(11) t?,« < 1 [y m 4- Vm') •
Considérons enfin le cas où f {x^ = 0; alors l'équation f (a?) = a deux racines égales k x^. La valeur de C déduite de (9) en remplaçant f {x) par zéro est égale à :
C = --(Km + Km'y' a
On a donc :
a — x (Vm
Ç'Vx {a —
x) dx
Si a^o < ic,, et si le sens de v^ est celui de 00', il faut prendre le signe + .
Si x^ > a?,, et si le sens de v, est celui de O'O, il faut prendre le signe — .
On voit que, datis l'un ou l'autre cas, le mobile airive à la distance Xi du point 0, mais au bout d'un temps infini, et il y arrive avec une vitesse nulle. Le point qui correspond
à 0? = a?i est le point d'égale attraction, comme on le voit par l'équation :
mm
Le cas que nous venons de traiter se présentera quand on aura :
(12) t?o* = 1 ^ [Vm 4- y m') >
x^ d '— Xq cl
v^ étant donné, l'équation précédente donnera toujours pour x^ deux valeurs comprises entre zéro et a, car x variant de £c, à zéro ou de x^, à a, le second nombre augmente constamment de zéro à l'infini.
Appliquons ce qui précède au cas où et 0' sont les centres de la terre et de la lune. Nous supposons les deux corps en repos, et nous allons chercher quelle devrait être la vitesse d'un corps lancé d'un point de la surface de la lune dans la direction de la terre, pour que ce corps vint tomber sur la terre. On devra avoir l'inégalité (10). Soient f et r' les rayons de la terre et de la lune ; on a en nombres ronds :
a = 60r; ^ = jj H ^=§1^
l'inégalité (12) devient :
«?o > 2m — + ôT-r r — 57r- X -37- '
^* -^ r Les? ■*" 264 243 J' on en conclut :
r,»> 0,0828^- Des^eyrous. — Mécanique, 15
Wli COURS DE MKCANIQUE.
Or, l'attraction de la terre, à la surface, est -7 sur l'unité de masse; on a donc :
et par suite : .
V* > 0,0828 gr;
en remplaçant gr et r par les valeurs approchées :
g = 9,Sl; r = 6360000", on trouve :
La lune n'ayant pas d'atmosphère dont la résistance puisse diminuer la vitesse des corps partis de sa surface, il s'ensuit que si la terre et la lune étaient en repos, un corps lancé de la surface de la lune vers la terre avec une vitesse plus grande que 2270 mètres dépasserait le point d'égale attraction et viendrait tomber à la surface de la terre. Il convient peutêtre de rappeler, ici, qu'à une certaine époque on a supposé que les aérolithes pouvaient être lancés par les volcans de la lune; il est presque inutile d'ajouter que cette opinion est aujourd'hui complètement abandonnée.
Remarquons que ce que nous venons de dire ne s'applique pas à la réalité; à cause du mouvement de la lune, il faut composer la vitesse initiale du projectile avec la vitesse du mouvement de translation de la lune autour de la terre. Le projectile décrit une courbe dans l'espace, et nos formules ne s'appliquent pas.
, Le même calcul donnerait i-ilOO mètres pour la vitesse avec laquelle on devrait lancer un projectile de la surface de la terre, pour que ce projectile pût atteindre la lune.
