HOUTEHENT CURVILIGNE D'UN POINT MATÉRIEL

Coofidéralioni préUninaire»,

22. Théorème L — Si des forces donnéeê se font équilibre au point de vue étatique, elles se font équilibre au point de vue dyriamique.

C'est à dire que si elles se font équilibre sur un point matériel en repos, elles se feront équilibre sur un point matériel en mouvement.

Soit, en effet, M un point matériel en mouvement sous r action d'un groupe de forces f\ désignons par F un groupe de forces qui se font équilibre sur le point matériel en repos. . Considérons un système de points matériels identiques au proposé, et animés de la même vitesse initiale, sollicités tous par les forces /", ces points prendront évidemment le môme mouvement de translation. Faisons maintenant agir les forces F sur un seul de ces points ; d'après le principe de» mouvements relatifs, l'effet produit par ces forces sera le même que si le point était en repos, c'est à dire que ces forces produiront un mouvement nul. Le mouvement résultant des forces / et F sera donc le même que le mouvement résultant des forces /.

23. Théorème II. — ^ Quand on a composé au point de vue statique un groupe de forces F agissant sur un point iMtériel, et trouvé leur résultante R» on peut appliquer la

'me règle au point de vue dynamique, c'est à dire que, sur point matériel en mouvement, on pourra remplacer les ■ces F par leur résultante R, déterminée en statique sans e le mouvement soit modifié.

En effet, remarquons que les forces F et — R se font iiilibre, tant au point de vue statique qu'au point de vue aamique. Cela posé, considérons le mouvement d'un point itériel animé d'une certaine vitesse initiale, et sollicité par forces f et R, et par les forces F et — R : les forces F et— R faisant équilibre, le mouvement sera le même que si ie int n'était soumis qu'aux forces ^ et R; de même ies ces R et — R se faisant équilibre, le mouvement sera le ■me que si le point n'était soumis qu'aux forces f et F. iinsi, le système des forces f et R et le système des ces /■ et F produisent le même mouvement; donc on peut nplacer les forces F par R; ainsi R est bien la résultante J forces F, au point de vue dynamique.

Monveimnt curviligne d'oD point maUriel.

24. Théorème préuminaire. — Dans tout mouvement •■viligne, l'accélération de la projection du mobile sur une nte quelconque est, à chaque instant, égale à la projection la force qui sollicite le mobile, divisée par la masse de ce Int.

soient F la force qui sollicite le mobile et v sa vitesse à un tain instant. Concevons que l'on décompose la vitesse v deux autres dirigées, l'une v' parallèlement à l'axe XX' " lequel on fait les projections, l'autre v' dans le plan )jetant P qui passe en m. Décomposons de même la ce F en deux autres F' et F', F' dirigé suivant l'axe XX', situé dans le plan projetant P. Concevons un système points matériels identiques au point matériel consl- ■é, animés tous de la vitesse u' au temps (, et sollicités

chacun par une force égale et parallèle à F'; tous ces

points vont prendre un mouvement de translation recti-

ligne parallèle à XX' et, en vertu du théorème démontré

i-elativement au mouvement rectiligne, l'accélération de ce

F' mouvement sera égale à chaque instant à — ■ Le plan P, con-

p„^ sidéré comme faisant partie du sys-

/ A tème, se déplace parallèlement à

F<ît9i./ /^ lui-même. Imaginons maintenant

i^,/ / / que, dans le système, le point m

/•■/ /C-^^" ^°^* animé de la vitesse «' au

W^^^\ / temps t et qu'il soit sollicité par

"^ " ï" la force F' qui est toujours con-

: tenue dans le plan P; le mouve-

I ment relatif dans le système est

'^ "■ f le même que si le système était en

repos; mats alors le mobile ayant sa vitesse initiale v* dans

le plan P et étant sollicité par une force F' située dans ce

plan n'en sortira pas. Le mouvement relatif déplace donc

seulement le mobile dans le plan P, et par conséquent n'a

pas d'influence sur le mouvement de la projection ; donc le

mouvement de la projection est identique au mouvement

de translation du système; l'accélération du mouvement

F' de la projection est donc — » c'est à dire égale à la projection

de la force divisée par la rnasse du mobile. Cela a lieu, que les projections soient orthogonales ou obliques.

25. Théorème fondamental. — Dans un mouvement (curviligne quelconque, l'accélération est à chaque instant égale en grandeur et en direction à la force qui sollicite le mobile, divisée par sa masse.

Soient en effet a, b, c les angles que fait la force F avec trois axes rectangulaires Ox, Oj/, Oz, et a', b', c' les angles

que fait avec les mômes axes l'accélération Y- Nous savons que l'accéldration de la projection du mobile sur Ox est égale à la projection de v sur Ox; mais, d'après le théorème

précédent, elle est aussi égale à ; on a donc :

cos a cos b C08 c m ± k'cos' a + cos* b + cos' c

cosa'"co9fr'~cTO?~-r^k'cos'o' + cos' 6' + cos" c'

F et Y étant essentiellement positifs, il faut prendre le signe + ; nous avons donc :

cos a = cos a' cos & =: cos b' cos c = cos c'

26. 'Remarque. — C'est là le théorème général de la dynamique : il exprime une relation entre la cause et l'effet; c'est à l'aide de ce théorème qu'on peut résoudre les deux questions principales qui se présentent en dynamique :

1" Un mouvement étant observé, trouver la cause qui le produit;

2* Étant donnés la force qui agit sur le mobile, et son état initial, c'est à dire sa position et sa vitesse Initiales, trouver le mouvement.

Dans le premier cas, on remonte de l'effet à la cause.

Dans le deuxième, on redescend de la cause à l'effet.

Nous allons maintenant donner, en partant du théorème général, les équations du mouvement d'un point matériel.

27. Équations générales dn mouvement d'nn point matériel. — On peut toujours considérer le point matériel comme soumis à l'action d'une force unique, laquelle est ' résultante des actions de toute espèce qui s'exercent sur ti Si le point n'était pas absolument libre, c'est à dire s'il faisE partie d'un corps ou d'un système de corps liés entre eux, i bien encore s'il se trouvait gêné dans son mouvement p des obstacles, il faudrait avoir soin, dans l'évaluation de résultante ou force motrice, de tenir compte des forces q proviennent des liaisons du système, ainsi que des réaction des obstacles ou appuis. Nous verrons plus tard comment ( peut le faire.

Nous rapporterons le mouvement du point matériel à tro axes fixes Ox, Oy, Oz ; les coordonnées du point seront x,y,i nous devrons décomposer la force motrice en trois autri X, Y, Z, respectivement parallèles aux axes, et nous auroi alors, en prenant t pour variable indépendante, les tro équations différentielles :

pour déterminer x,y,zen fonctions du temps.

Les quantités X, Y, Z seront généralement des fonctioi connues de x,y,z; elles pourront aussi contenir le temps (,

quelquefois même les vitesses j,- t^> j-,' Les équations ( sont donc trois équations simultanées du second ordre; li intégrales de ces équations, c'est à dire les équations finii du mouvement, doivent contenir six constantes arbitraire Le problème est cependant bien déterminé; Un'arrivejamai

comme en géométrie, qu'on puisse résoudre le problème de deux manières également admissibles. Un corps étant placé dans des conditions données, le mouvement qu'il prendra est unique et bien détenniné.

La présence des arbitraires tient à ce que nous n'avons pas tenu compte, en écrivant les équations différentielles, des conditions dans lesquelles le point matériel se trouve placé, au moment où nous l'abandonnons à l'action des forces X,Y,Z. L'analyse nous avertit ainsi que notre métbode nous donne du même coup la solution de tous les problèmes qui ne diffèrent du problème proposé que par la position initiale du point mobile, ainsi que par la gi-andeur et la direction de la vitesse qui anime ce point, à l'instant pris pour ori^ne du temps.

L'int^ation générale des équations (1) constitue donc seulement la première partie de la solution de la question proposée, et l'on doit achever cette solution de la manière suivante. Soient, en désignant par C„ ..., C, les six constantes arbitraires :

les intégrales générales trouvées ; nous en déduirons pour les composantes de la vitesse à une époque quelconque :

Cela posé, soit pour ( = 0, x„ y„ z, les coordonnées du mobile, u„ v„ w, les composantes de la vitesse initiale;

DYXAMÏQL'K. 233

nous aurons les six équations :

/ ir, = AO,C„....C.), ' w.^A(0,C„...,C.),

Ces six équations serviront à déterminer les six arbitraires; ces six quantités devant être essentiellement distinctes, les équations (4) et (ô) ne sauraient être ni incompatibles ni indéterminées ; si l'un de ces cas se présentait, c'est qu'on n'aurait pas dans (2) les intégrales générales des équations (1).

Si les axes sont rectangulaires, en désignant par V„ «„ ?„ y. la vitesse initiale et les angles que fait cette vitesse avec les axes, on devra remplacer dans (5) u„ v„ w, par :

B, = V, cos a,; V, = Y, cos g,; w, = V, cos y,.

Après avoir traité cette seconde partie et déterminé les six arbitraires, on portera les valeurs obtenues dans les équations (2) qui feront connaître x, y, z à. une époque quelconque t. En éliminant t entre les trois équations (2), on aura les équations de la courbe décrite par le mobile.

28. Monvement dans va plan. — Lorsque la force qui sollicite le point matériel se trouve constamment contenue dans un plan, lequel renferme aussi la vitesse initiale, le mobile ne sort pas de ce plan; on aura seulement les deux équations différentielles :

dont les intégrales générales contiendront quatre constantes arbitraires. •

29. Réciprogoe da problème. — Quand on connaît la loi du mouvement d'un point, on connaît x, y, z en fonction du temps; on pourra calculer les dérivées secondes de ces coordonnées par rapport au temps, et en les multipliant par la masse du point on aura les composantes de la force qui produit le mouvement donné.

Cette seconde question est, comme on voit, beaucoup plus simple que la première.

30. Force tangentielle, force centripàte. — On peut aussi procéder d'une autre manière en prenant pour axes la 'tangente à la trajectoire, la normale principale et l'axe du plan osculateur. Nous savons que la force motrice est dirigée dans le plan osculateur; soit a l'angle qu'elle fait avec la tangente à la trajectoire. Nous avons vu en cinématique que les projections de l'accélération sur la tai^ente et la

normale principale ont pour valeur ^i et — ; mais d'après

notre théorème fondamental ces projections sont égales à :

: F sin a = F,.

La force F, se nomme la force tangentielle et la force F, la force centripète.

31. Remarque. — On se fait une idée parfaitement claire du mouvement rectiligne produit par une force dont la direction ne diffère pas de la vitesse actuelle du mobile.

Au contraire, on voit beaucoup moins bien comment, dans le mouvement curviligne, la force influe à la fois sur les éléments géométriques de la trajectoire du mobile, et sur les variations de la vitesse de ce mobile. Les formules (5) mettent précisément en évidence comment la force produit à la fois, et d'une manière indépendante, la variation de vitesse du mobile et la courbure de la trajectoire. Ainsi :

4° Le changement de grandeur que la vitesse du mobile éprouve avec le temps, est dû uniquement à la force tangentielle ; en sorte que, si cette force tangentielle était constamment nulle, c'est à dire si la force était constamment normale â la trajectoire, la vitesse ne varierait pas et le

mouvement serait uniforme.

2^ De même la courbure - dépend uniquement de la

force centripète ; si cette force était constamment nulle, la courbure le serait aussi, et le mouvement serait rectiligne.

Euler, dans sa Mécanique, emploie exclusivement les équations du mouvement sous la forme (5); nous nous servirons des deux formes, chacune ayant ses avantages particuliers.

Nous allons appliquer les principes qui précèdent, à la détermination du mouvement des projectiles, d'abord dans le vide, puis dans un milieu résistant.