Amplitude du jet. — Cherchons le point C où la
parabole vient couper l'horizontale OX; OC est ce qu'on appelle l'amplitude du jet. Il suffit pour cela de faire y =0 dans les équations (1), et d'éliminer ensuite t entre ces deux équations. On trouve ainsi :
X a la même valeur pour :
v^ restant le même dans les deux cas.
Vo restant constant et a variant seul, X est maximum
pour OL =h alors X = -^ ; c'est la plus grande amplitude que Ton puisse avoir, avec la vitesse donnée t/j-
35. Ordonnée du sommet. — On l'obtiendra en faisant dans (4) :
Cela donne pour les coordonnées X„ Y^ du sommet :
/,x Y *. y V sin'g ^ tV|sînjtcosa
v^ étant constant, et a variable, Yj est un maximum pour a = 90®, c'est à dire si la vitesse initiale est verticale;
cette hauteur maxima est ^ ou la moitié de l'amplitude maxima.
36. Direction du tir. — Proposons-nous de trouver dans quelle direction il faut tirer avec une vitesse v^ pour atteindre un point donné x\ y'. L'équation (4) donne, en y remplaçant x ety par x' et y' :
y'=(r'tga-|^(i+tg'a);
on en tire :
(8) tg»«-î^tg« + r «A + i^O,
équation dans laquelle l'inconnue est tg a.
Pour que le problème soit possible, il faut que cette équation ait ses racines réelles, ce qui exige que l'on ait la condition :
On en déduit :
^.^yn^f.^. '
le point M doit être K p'6 126 iï^ teneur à cette para- ^^" bole. Quand cette con-
dition est remplie, on A' \X a deux trajectoires pas-
sant par le point M.
Lorsque le point M est situé sur la parabole limite, par exemple en K, les deux racines de l'équation (8) sont égales ; on n'a qu'une valeur de a donnée par la formule :
gx'
Il n'existe donc alors qu'une seule trajectoire passant par le point K.
La courbe ABA' porte le nom de parabole de sûreté.
Elle est l'enveloppe des trajectoires quand on fait varier a; si nous voulons en effet trouver l'enveloppe des courbes représentées par l'équation :
(9) ^ Ig * - ôfi (* '+ ^'oL)x'^y = 0,
ou :
/'(tga) = 0,
lorsque « prend toutes les valeurs possibles, il faut joindre à cette équation la suivante :
et éliminer tg « entre ces deux équations. Or le même procédé
Considérons la courbe qui a pour équation : ,
Cette courbe ABA' est une parabole dont le sommet B est j
sur l'axe OY à une distance OB égale k~-i le foyer en et le \
paramètre OA égal à — • La condition (A) signifie que •
if-
peut être employé pour trouver la condition pour que l'équation (9) ait ses deux racines égales.
37. TempB nécessaire pour atteindre un point donné. — Cherchons le temps t' nécessaire au projectile pour atteindre le point M dont les coordonnées sont x', y'. On peut écrire les équations (1) de la manière suivante :
x' = v,t' cos a, y' •+■ } jf(" = r,f' sin ûi.
On en déduit :
{10) (y' + \gf')'+x'' = v^'t'\
g^t'- + 4('* {gy' — r,') + 4 (a;" + y") = 0,
ff'f" = 2 (V - gy-) ± 2 k'tV-ffy')'-î'r'',
en posant :
r" = a;'* + y'% ou :
jV" = (Kr,' — gi/' + gr' ± Kr,' — gy' + jr')*»
on a donc cnfm :
gt' = k'r,' — py' + gr' ± Kr,» — gy' + gr' •
Le signe + correspond à la plus grande valeur de a, le ' signe — à la plus petite ; cela résulte de la relation :
qui montre qu'à la plus grande valeur de a répond la plus grande valeur de ('.
38. Dn monvement des projectileB dans un milien résistant. — Nous supposerons le projectile sphéhque et nous ferons abstraction de la rotation de la terre. Dans ces conditions le centre du projectile ne sortira pas du plan vertical qui contient la vitesse initiale; nous pourrons nous occuper seulement de ce centre. Soient m sa masse, mgR la
résistance du milieu, OM la trajectoire, Ox, Oy deux axes rectangulaires dans le plan de cette trajectoire, a? horizontal, Oy vertical dirigé vers le haut. Soient a Tangle que fait avec Ox\a tangente MT, v la vitesse en M; les forces qui agissent sur le point M sont la pesanteur MA = mgf, la résistance de Tair MB = mgR; on aura donc les équations suivantes, pour déterminer le mouvement :
y Fig.127
m -TT = — fngVi cos a,
dt'
dt
^ = — mi7 — wjfR sin a,
auxquelles on peut joindi-e :
a? (2) — = t? cos a; -^ = t? sm a.
En tenant compte de (2), les équations (1) peuvent s'écrire :
d,v cos a
d.v sin a
= — jR cos a;
= — g — ^Rsin a.
On peut remplacer ces deux dernières équations par les
suivantes :
/ox d.v cos % ^
(3) —j-^ — = — </R ces a,
d.rcosa d.rsina
sm a. — — cos a. — jr — = g cos a;
dt dt "
la dernière se simplifie et devient :
vd%
dt
= — jf cos a,
d'où :
— gdt =
vdcL cos a
Portons cette valeur de dt dans (3) et il viendra :
^ . t? cos a
dx
= tR.
Despeyrous. — Mécanique.
24â COURS DE UÉCANIQUE.
R est une fonction de v ; (5) est une équation difTérentlelIe du premier ordre, d'où on tirera v en fonction de a ; (4) donnera ensuite t, et (2) x el y en fonction de a. Il convient de faire un changement de vanables ; au lieu de « nous introduirons :
au lieu de v nous prendrons :
« = (j cos a.
On aura :
va devenir
flui'i + p');
du
