TT

donnera ensuite

— gdt = «dp; puis les équations (2) donneront :

— gdx — u^dp; — gdg = u^pdp.

Désignons par p, la valeur initiale de p, lorsque le mobile est en 0, au temps f = 0. Les formule^ servant à la résolution du problème seront représentées par le tableau suivant :

t = « i/rT7,

■ s' = j^^ "* :=£'a'dp.

- gx -

■ sy ■■

dynavique;. âfô

On voit que si l'on peut int^er l'équation (G) qui est une équation du premier ordre, et qu'on en tire u en fonction de p, le problême sera réduit aux quadratures.

39. La première chose à faire est de déterminer, par l'expérience, la résistance du milieu (nous supposerons que ce soit rair), en fonction de la vitesse, c'est à dire la fonction f(v). Newton avait proposé la formule f{v) = Kv*; cette formule ne convient pas dans le cas des très grandes vitesses. En discutant les expériences faites à Metz en 4857 par la commission du tir, le général Didion est arrivé à trouver que dans le cas des projectiles aphériques et pour des vitesses comprises entre 300 mètres et 650 mètre» on a ; R = Ar' + Bv*.

Depuis, on a montré qu'on obtient le même degré de précision en prenant simplement : R ^ Bw'; on voit que la question n'est pas encore complètement résolue. L'équation (6) s'intègre rigoureusement, lorsque R ^ Av' ou R = Bu'; elle s'intègre même r^oureusement pour :

Cette expression comprend comme cas particulier R =^ A.V* ou R = Bw', mais non R = Av' + Bv'; mais on conçoit que, pour des valeui's de v comprises entre certaines limites, on puisse déterminer les trois constantes a, b et n de manière que la dilîérence entre a + bv' et Au' + Bv' soit petite et de l'ordre des erreurs d'observation. La solution que nous allons donner en prenant R = a -+- 6u" suffira donc aux besoins de la pratique. Prenons la formule (7) ou bien :

R = a + bn' (1 4- f ') ' .

réquation (6) deviendra :

(8) ^" = -:^i= + 6«- Cl H- p-r^.

C'est une des formes de Téquation de Jacques Bernouilli, on sait donc Tintégrer ; nous récrirons de la manière suivante :

Cette équation est une équation linéaire ; on peut l'écrire : 2 — hPp = Q, enposanl: «?==—.

fin « ~ 1

Kl -*-p*

L'intégrale générale sera :

w = e -/^àp

iC-h fe/^^pQdp]^;

or, on a :

Jvdp = na log (p + J/i + p*) = log (p + 1^1 + p')"";

e-A^p = (p + KrT7)""""

On aura donc :

On déterminera la constante C en écrivant que pour p = p.

tt = Wo = fo cos «0,

alors l'expression de — sera ramenée à une quadrature* que

l'on ne saura pas effectuer en général, et les formules (A) achèveront la solution par d'autres quadratures.