Cas où a = 0. — Nous allons terminer les calculs

dans le cas où a = 0, et par suite :

la formule (10) devient alors :

f^ = C-w6 / (l+p«) » dp.

Déterminons la constante, et faisons le tableau des formules ; nous aurons :

tt« = t'n cos a

^gt= f udp; —git=udp,

— gx= f u*dp; — gdx = u*dp^

— 9y=l u^pdp; —gdy = u*pdp,

Jp%

Po = tg ao

dy

Si n est un nombre entier, on peut effectuer la quadrature

qui figure dans l'expression (44) de — » mais non celles qui

figurent dans les expressions (12), (13) et (14). Dans ce cas et dans le cas général où n est quelconque, on donnera à p des valeurs numériques assez rapprochées, et on calculera chacune des intégrales définies correspondantes par les formules dites de quadrature; on aura ainsi pour chacune des valeurs numériques de p les valeurs numériques de i,

Xj y y V. On pourra construire la trajectoire par points. Sans effectuer ces quadratures, on peut arriver à se faire

une idée de la forme de la trajectoire,

j^S , Discussion. — On aura évidemment n > 0, sans

quoi R serait infini pour f = 0; « = tf coa * est positif tant

que a n'atteint pas ± 5 ■ auquel cas p serait égal à d= w . La

formule :

— gdt = udp

montre que -^ est toujours négatif, ainsi p décroît sans cesse ; la formule (8) devient, en tenant compte de a i^s ;

donc u décroît sans cessa. Ainsi :

montre que la limite p qui diminue sans cesse, doit tendre vers — 00 , car on en déduit :

gl< I Vtdp < Wj {p„ — p).

Si p ne tendait pas vers — 00 , ( ne pourrait croître indéfiniment. Ainsi pour ( ^= 00 , p ^ — <» i P variera donc toujours dans le même sens de p, à et de à — 00 . Pour p 1= on aura le point le plus élevé de la trajectoire. Soient x„ y, les coordonnées de ce point, t, le temps correspondant, on aura :

gt, = j^ udp,

gx, — / «*dp,,

0y, =j''tt*pâp,

où tt doit être remplacé par sa valeur générale (H) sans y

faire p = 0. Là vitesse t;, au 8omme\ sera dpnnée par les équations :

— ^— ■4-nfej (1+p') » dp; t*. = f,.

Au delà de ce point, p devenant négatif, nous ferons p =— g; les formules :

— gdt = udp^

— gdx = t«*rfjp,

— g^dy = u^pdp

deviendront :

gdx:=u^dq^ gdy = — u^qdq.

Intégrons et remarquons que, pour j == 0, < = <j, a? =:t «?„ y = ^u ^ = t*i, noué aurons les formules suivantes dans lesquelles q devra varier de à H- oo :

I i l nq îLnJ

gl = g{t-t,)^ rVdq, J Jo

gY=:g(if — y,)= JJv^qdq.

T désigne le temps écoulé à partir du sommet ; X et Y désignent les coordonnées relativement a des axes qui se coupent en ce point ; on a pour < = x , y = oo , et la première des

formules (C) donne U = ; il est aisé de voir que q U tend vers une limite finie, car on peut écrire :

iqV)- q'u," -■

Pour 5 = 00 , l'expression :

(1 + q') ' dq

se présente sous la forme ^; prenons le rapport des déri-

vées :

La

vraie

valeur est donc - ;

ainsi :

La formule :

lim r-r^T- = b; lim qV =-r= (?U)» p^j

r = U Kl + î' = ?U l/l 4- ^

donnera :

lim V = lim qV,

limr= ';rz;

c'est la valeur pour laquelle :

prend la valeur mg. La vitesse tend donc à devenir constante, L'expression :

g:^ = J\Hq=j;m'-l

DYNAMigUK. 249

montre que X augmente sans cesse, il est facile de voir que

X tend vers une valeur finie. Soit M le maximum de gU

lorsque q varie de g' à + oo , g' étant suffisamment grand,

on a :

donc X tend vers une limite finie.

On a de même :

^gY= N'qdq= f\vqy^^= r'v^qdq-^ r^^^^T'

c/o JO q JO Jq' q

Y est toujoui^ négatif et décroît sans cesse; je dis que lorsque q tend vers Tinfini, Y tend vers — oo . On a en effet, en désignant par N le minimum de q U pour les valeurs de q comprises entre q' et +cc :

j(;"uv7>n/

dq 7'

quantité infinie.

Donc la courbe a une asymptote verticale CD et le mouvement du projectile tend à devenir rectiligne et uniforme, puisqu'il tend à devenir rectiligne et que

Fiq.128

lim V = coiist.

On aura, pour déterminer la position de Tasymptote :

gXBC=£ U'dq.

Remarque. — Pour n = 2, la formule (11) donne :

hh^-^'fy'-^'''''

ir :

'k'i + p* rfp = î p |/l + p' + llog{p + i^i + p') 4- consl.,

lonc :

1 * i.( i/ï î »yr — 7 . Pi,+ ^^l + p.*).

-i-— =+6 p,i/i-t-p„'-pi/i+p» + iogt! — . — i;

*our n = 3 :

l-i- = -3fc rn+p')dp;

/ (i+p')ilp=p + ^ + const..

Pour n entier, on aura une formule de réduction fadle ft rouver.

42. MoQTement des projectiles en supposant la résistance iroportionnelle à la simple vitesse. — Méthode particulière. — Représentons la résistance R par — m\>.v; les projections

iewsont : jT' -j;; celles de Useront: —mLi-r;. —*in>.-jrdt dr "^ aï dt

ir :

On a donc :

d^x dx 3? = -''57'

d'y dy

(1) peut s'écrire

J.IOB^ = -,.«,

d*oûy en désignant par C une constante arbitraire :

pour t = :

dx

^ x= t?^ cos a,

a étant l'angle de la vitesse initiale avec Taxe des x; donc :

(3) ^i*«,C08«ff-i»',

d'où:

<4) a, = £i£2Lî(i e-.»0.

(2) peut s'écrire :

dt* *^dtY v.)

d'où, en opérant comme précédemment :

pour t = cette équation donnera :

r, sin a -4- - =C',

donc :

d'où :

On a ainsi :

'«> JÎ=-;*(^"-='"')'-"-

252 COURS UE IIÉCANIQUE."'

La solution "du problème est donnée par les formules (3), (4), (5) et (6); la formule (3) montre que a; croit sans cesse; pour t = tx> , X prendra une valeur x, que nous pourrons calculer à l'aide de la formule (4) :

, r^ cos a

pour t =^0, j- est positif; la formule (6) montre que -^ s'annule pour f = (' donnée par la formule :

ef^''— l + - tosin a,

valeur admissible puisque le second membre est plus grand que 1. Soient x' et y' les valeurs correspondantes de x et y, on trouve :

— sin a cos a a-'- *

1 + - r. sin X

dans le vide :

1 "»' ■ ic' = -ï- sin a. cos

donc x' est plus petit que dans le vide. L'expression de y' est compliquée et n'a rien de particulièrement intéressant; pour i > (', y diminue sans cesse et devient infini négatif pour i ^ 00 ; on a donc une asymptote verticale ; comme on

a : lim -n = 0, lim ^f = — -' lim v = -■ On voit que al ^ at \i. p. ^

le mouvement tend à devenir rectiligne et uniforme.

Équation de la trajectoire. — On peut éliminer t entre (4) et (5).

DYNAMIQUE. *Joà

De (i) on déduit :

Po COS a \ l'a COS a/

Remplaçant dans (5) t et e""*' par leurs valeurs, on aura l'équation de la trajectoire :

, = », |„g (, i^) H- X Ig . (l + — LV

(** " \ r, COS a/ " \ (AP, sia a/

Amplitude du jet. — On trouve l'amplitude x' du jet par la foimule :

», i„g (, -ïî!- U »■ tg . (t + — L) = 0.

|ji* ^ \ lî, COS a/ ^ \ ij.r, sin aj

Pour calculer x', posons :

I — = H, dou X =— ^ :.

fj COS a ^

on aura l'équation :

9 \ nf, sin «/ n ^ '

OU

log«+ a{l — tt) = 0;

en faisant :

fl^i + '*'''^'"".'

on voit que a ;> 1.

Il est facile de voir que l'équation (7) a une racine comprise

on a:

Pour

/■(»)>«, A») augmente

f (u) = 0, /■(«) maximnin,

« > - f {v) < 0, /(«) dimiûue, « = i fin) = 0.

'Fia 129 ^^"^ ^^'^ '^""'^ représenté entre et 1 par

la courbe ci-contre. La racine u' = OA que nous cherchons est comprise entre

* et - = OB.

On aura x' par la formule :

CÏUPITRE V ■