SUR LES INTÉGRALES DON PROBLÈME DE DYNAMIQUE

43. Reprenons les éc[uatlons difTérentielles du mouvemeni d'un point matériel libre : ■

Dans le cas le plus généra! X, Y, Z sont des fonction!

données de x, y, z, t, -jz^ -j:^ t.' Nous avons vu que li ' "^ ' ^ al al . al ^

solution la plus générale des équations (1) est :

( ir = F, (/, C„ ....Ce),

(2) y = F. ('. c„ ..., ex

On en déduit , en désignant les dérivées des fonctions F„ F, F, par rapport au temps par 'ï'„ *„ 1», :

Considérons les équations (2) et (3). Ce sont six équation dans lesquelles on peut considérer C,,..., C, comme des incor

i6 COURS DE MÉCANIQUE.

les ; il doit être possible, sauf les difficultés de calcul, de soudre les équations par rapport aux inconnues; car pposons qu'ayant tiré, par exemple, les valeurs de C,,..., C, I cinq de ces équations, et portant cette valeur dans la dème, C, vienne à disparaître, on obtiendrait une équation lie que :

L rff dt dtj

Cette éqpiation (4) devi-ait avoir lieu à une époque quelconte, et en particulier à l'époque (,; on en conclurait donc :

^[— ..râ'(t'(a]=»-

Ainsi, les coordonnées initiales et la vitesse initiale ne urraient pas ùtre quelconques ; les équations (2) ne donneient donc pas la solution la plus générale, puisqu'elles pposeraient une certaine équation de condition entre les nnées initiales. On devra donc pouvoir déduire des équa- >ns (2) et (3) le système suivant de six équations :

: C,=,V,(,,a,.î,,.-,^,ff,l^), I ' \ '^ ' àt dt dt/

Ces équations sont ce qu'on appelle les intégrales du

>uvement.

Lorsqu'on connaît un système de six intégrales distinctes,

est sur que toute autre intégrale rentrera dans celles-ci. Ce

i veut dire que si une fonction :

dx dy dz\

. / ■ dx dy dz\

•('•'■"•- ï7' af- HJ

reste constante en vertu des équations du mouvement, on peut la mettre sous la forme :

(8) 6 = (Cl, C,, ..., C<),

G„ ..., G, ayant les valeurs déduites des équations (6).

On peut en effet remplacer dans (7) : Xj y, Zy -rz^ Yt^ lit

par leurs expre:. ions en fonction de <, C,, ..., C„ moyennant (juoi il viendra :

Or, pendant le mouvement G„ ..., Gj restent constants et aussi ; donc t doit disparaître de récjuation (9) qui se réduit bien à l'équation (8).

On peut donc envisager la solution d'un problème de dynamique à ce nouveau point de vue : "*

Trouver six fonctions distinctes t^„ ..., +, du temps t et

dx dy dz de Xy y^ z^ y > j-» --r qui restent constantes pendant toute

la durée du mouvement. Poisson a fait connaître un théorème remarquable dont Jacobi a signalé l'importance, qui permet de trouver une troisième intégrale, quand on en connaît déjà deux. Avec cette troisième et l'une des premières, on trouverait la quatrième, etc. Il suffirait donc, en admettant la portée donnée au théorème de Poisson par Jacobi, de connaître deux intégrales d'un problème de dynamique, pour en déduire toutes les autres et par suite pour résoudre le problème. Malheureusement, il arrive le plus souvent que les intégrales obtenues par ce procédé ne sont pas distinctes ; elles sont presque toujours des combinaisons des deux premières. On peut consulter à ce sujet les travaux remarquables de Jacobi et de MM. Bertrand et Bour. Quoi qu'il en soit, on peut en combinant convenablement les équations (1) trouver, dans certains cas, un certain nombre d'intégrales,

Despeyrous. — Mécanique. 17

on arrive ainsi à des théorèmes dont on fait le plus grand usage. Nous allons faire connaître l'un deux.

44. Théorème des forces vives. — Intégrale des forces vives. — Reprenons les équations différentielles du mouvement d'im point matériel libre :

On en déduit :

\ dt dt dt)

Or, on a :

/os « i^* ^y* àz*

d'où l'on déduit :

(4) i£!2ËÎ^+s5llf^ + 2^^

^ ' dt ~ dt dt* dt dt* dt dt*

ce qui permet d'écrire comme il suit Téquàtion (2) :

En intégrant, et désignant par v^ la vitesse initiale au temps i = f, on aura :

,«.-i„V=f(x^î^vg.z^^).,

La quantité mv* ou le produit de la masse par le carré de la vitesse se nomme la force vive du point matériel, et l'équation (0) est ce qu'on nomme l'équation des forces ijîvêë.

-^ "«-rv'e ' »•;«■•- 1; ■•

L'intégrale qui figure dans le second membre a un sens bien défini : en effet; lorsque le mouvement est connu, a?, y, z,

li^ Ht* dl ^^ par suite X, Y, Z sont des fonctions déterminées du temps ; l'intégrale peut être calculée, etjl'on pourra ainsi vérifier Téquation des forces vives ; mais on ne voit pas actuellement Futilité de cette équation pour obtenir les lois du mouvement. Faisons une hypothèse sur les composantes X, Y, Z : supposons ces quantités fonctions de x, y, z seulement, admettons en outre que X, X, Z soient les dérivées partielles d'une même fonction F (x, y, jj), en sorte que l'on ait :

rfX dY rfX dZ^ ^ — ^.

dy dx' dz dx^ dz dy

On aura alors :

dF(£j^£), dV{x,y, z)^ r, d¥ {x,y,z) ^

^~ dx ' dy ' dz '

on dit dans ce cas qu'il existe une fonction des forces, et cette fonction est F (a?, y^ z). On aura :

y dx ^dy 7?[f££^ ^^ dFd^ dF (ar, y, z) dt dt dt dxdt dy dt dz dt dt

On aura donc :

Soient donc a;,, t/„ z, les valeurs de a;, y, z pour t = f„ l'équation (6) deviendra dans le cas actuel :

(7) \fnv* — ifnv,*=V(x,y,z) — F{x,,if,,z,). ,

On voit qu'on a pu obtenir la valeur de l'intégrale qui figurait dans (6) sans connaître d'avance les expressions de Xy j/, z en fonction du^temps.

Si l'on remarque que, dans cette équation (7), -J mv/

— F (x„ y,. z„) est "une constante arbitraire, que v' peut être

, , dx^ + dy' + dz^ . , . „

remplace par j^^ 1 on voit que cette équation (7)

est une intégrale du mouvement, c'est l'intégrale des forces vives ; elle n'existe pas en général, mais seulement sous les conditions spécifiées plus haut pour X, Y, Z. On peut dire encore que :

Dam le cas où Xdx + Xdy + Zdz est une différentielle exacte, la différentielle d'une certaine fonction de x, y, z considérés comme variables indépendantes, si un point matériel est soumis à l'action d'une force dont les composantes parallèles aux axes soient X, Y, Z, l'accroissement du carré de sa vitesse, en passant d'un point à un autre, pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour parvenir au second, et quelque ligne qii'il parcoure entre les deux.

On peut dire pi us[ généralement, d'après réquatiou (7), que si l'on considère les surfaces qui ont pour équations :

Pix,y,z)=^C; ¥(x,y,z) = C',

si le mobile part d'un point quelconque de la surface G' avec une vitesse v, dans une direction arbitraire, lorsqu'il arrivera en un point de la surface C, sa vitesse v peut être déterminée par ces seules données, indépendamment du temps employé et de la ligne décrite. Le mobile peut avoir traversé la surface C un nombre quelconque de fois. Les surfaces que nous venons de considérer ont reçu le nom de surfaces de niveau.

45. Propriétés des surfaces de niveau. -— Lorsque dans l'équation

on fait varier C d'une manière continue de — ce à + co , on obtient l'ensemble des surfaces de niveau.

1° Par chaque point de Vespace, on peut faire passer une de ces surfaces et une seule. Soit le point donné a;,, j/„ z,, la surface cherchée aura pour équation :

Pour qu'il en soit ainsi, il faut que la fonction F (x^ y, z)

ne puisse pas se réduire à ^ pour des valeurs réelles et finies

de Xj y, z. Considérons, par exemple, le mouvement défini par les équations différentielles :

df ix" 4- yy d'y —kYL^x''y

df ~{x^ 4- y^f d'z

on a ICI

Les surfaces de niveau ont pour équation :

X* 4- y* d'où :

Ces surfaces sont des plans passant par Oz; on voit que par un point quelconque de Oz passent une infinité de ■surfaces de niveau; mais on voit aussi que pour ce point la

fonction F se présente sous la forme ^ •

Ecartons donc ces cas où la fonction des forces n'est pas bien déterminée, ou se réduit à ç. pour des valeurs réelles et

finies de a?, y, z et nous aurons, d'après ce qui précède, le théorème suivant :

2^ Quelle que soit la . trajectoire suivie par un point

262 COURS DE MÉGANIQUE.

matériel, sa vitesse au passage d'une surface de niveau particulière est connue dès que l'on donne la vitesse qu'il possède en un point quelconque de l'espace.

3° Les surfaces de niveau sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile en un quelconque de leurs points.

En sorte que si elles étaient résistantes, ce mobile placé en un point quelconque de Tune de ces surfaces sans vitesse initiale y resterait en équilibre.

En effet, les cosinus des angles que fait avec les axes la normale à la surface (8) au point x^y^ z sont proportionnels

à J-» ^' ^ ou à X, Y, Z; la force est donc dirigée suivant

la normale.

¥ Sens et grandeur de la force. Remarquons que si l'on a

une surface dont Téquation en coordonnées rectangulaires est /'(ic,j/,^)=0, les deux parties de la normale en M, M Mj et M M, font avec les axes des angles déterminés par les formules suivantes :

COS a, =

dx

coep, =:

dp

ViïïH^

COS Yi =

dz

v/g)"-Kf-0

COS a, =

df

dx

vm^w-^^ii

cos Y, = —

V \dx) ^ \dy) ^ \dz)

Si M, et M, désignent des points infiniment voisins de M, on aura, comme il est aisé de le voir par la série de Taylor :

(3, ,(.....) ^.MMy Qv (g)-. (,^)- ,

Ainsi, pour les points infiniment voisins de M situés sur la moitié, de la normale déterminée par (1), on % la formule (3) et ^(œ,, y,, s,) est positif ; c'est ce qu'on nomme la normale extérieure.

Pour les points infiniment voisins situés sur les points de la moitié de la normale déterminée par (2), on a la formule (4) et f{Xt,y„z,) négatif.

Appliquons ces remarques aux surfaces de niveau

Les composantes de la force qui sollicitent le mobile au point X, y, z sont :

ax ay dz

et l'on a pour les cosinus des angles que la direction de la

force fait avec les axes les valeurs :

cos p =