COS

Donc la force est située du côté de la surface de niveau oii

est positif.

On aura en outre :

située du côté de la surface

en désignant par P la grandeur de la force. Soit C, le paramètre de la surface de niveau qui passe en M„ on aura ;

et par conséquent :

C, - C = + MM, X p.

Si donc on considère les deux surfaces de niveau infiniment voisines A et A, et qu'aux divers points M, M', Fiq.131 M' de la surface A on mène à cette surface les normales MM„M'M'„ M"M'., ... et

qu'on désigne par P, P', P'... les intensités de la force, lorsque le mobile est supposé placé en. M, M', M'... en remarquant que C et G, restent les mêmes le long des surfaces A et A,, on aura :

P — ÇlH^. ni Ct — c . p» — 9lziÇ

MMj ' ^ '^ mm; ' "^ m'm;

ou en général :

mm,'

ce qui offre une représentation simple des valeurs de l'intensité de la force qui sollicite le mobile, aux différents points d'une surface de niveau. Dans le cas particulier où la force P serait constante pour tous les points de la surface A, on aurait :

mm.^m'm.^m'm;,

et les surfaces A et A^ seraient parallèles.

Remarque. — De l'équation :

twtî* tnv ^

-^ 2^ = F (iP, y, 2) — F (a;., y,, i,),

on conclut que l'on doit avoir :

Si donc on considère la surface dont l'équation est :

F (a;, y, z) = F (a;,, yos.) - ""'•*

cette surface séparera l'espace en deux régions ; le mobile ne pourra jamais pénétrer dans l'une de ces régions ; s'il atteint la surface limite, ce sera avec une vitesse nulle. Cette

remarque a été mise à profit par M. Hill, pour trouver une limite supérieure de la distance de la lune à la terre.

46. Extension de Tintégrale des forces vives. *-* Considé* rons un point matériel astreint à se mouvoir sur une courbe fixe ou sur une surface fixe, la courbe et la surface étant supposées parfaitement polies; soient encore X, Y, Z les composantes de la force motrice; on pourra considérer la point comme entièrement libre en introduisant la réaction de la courbe ou de la surface, réaction qui sera normale à la courbe ou à la surface, d'après notre hypothèse, et par suite normale à la tmjectoire; on aura donc, en désignant par X„ Yp Z, les composantes de cette réaction inconnue :

On en déduit, en combinant ces équations comme précédemment :

dt 1 \ dt dt dt) \ • dï * dt dt)

Or, la réaction étant normale à la trajectoire, on a :

X, dx Y. dy

et par suite :

d mv* ^dx dy ^ dz

Tt'^~^ dt ^ ^ dt'^^Ft'

C'est la même équation (5) que si le point était entièrement libre.

Si la fonction des forces existe, on en déduira, comme précédemment :

L'intégrale des forces vives a lieu comme si le point était libre.

Exemples de cas où la fonction des forces existe.

i^ La seule force extérieure est la pesanteur. Prenons l'axe des z vertical et dirigé vers le bas ; nous aurons :

X = 0, Y = 0, Z = mg,

Xdx + Ydy 4- Zdz = d.tngz^

il existe donc une fonction des forces, et cette fonction est :

F (a?, y, z) = mgz, (12) t?« - V.' = ig{z^ z,).

Les surfaces de niveau sont données par l'équation :

Ce sont des plans horizontaux.

L'équation (12) s'applique, d'après ce qui a été dit, au . mouvement d'un point pesant, soit entièrement libre, soit assujéti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface.

2° Le point matériel est soumis d l'action d'une force dirigée constamment vers un centre fixe, et dont l'intensité est fonfCtion de la distance du mobile d ce centre fixe.

â68 COURS DE MÉCANIQUE.

Soient A le point fixe, a, b, c ses coordonnées, x, y, z les cooi'tionnées du mobile M y^ dans une position quelconque, y^ r la distance MA; M est soumis

•^ à la foree M B = /(r) ; or, les

Fig.132 cosinus des angles que MA fait ■ avec les axes sont ;

On a donc :

d'où :

Xrfa; + Ydy + Z((:=^[CB — ar)(ix + (6 — y)rfy + (c — :

Or, on a l'équation :

(« - -C)' + (t - VY + (c - 2)' = T\

d'où :

(a — jt) d* + (6 — y) rfy + (c — z) rfï = — rrfr.

La fonction des forces existe et on a :

F(a;,y,3) = -J'Ar)rfr,

Les surfaces de niveau sont données par l'équation : 1 fif) Ar=. const,

Ce sont des sphères ayant pour centre commun le point A.

La même chose a lieu lorsque le point M est soumis à d'autres forces dirigées vers d'autres centres fixes, les intensités de ces forces étant fonctions seulement des distances r, r', r'... du mobile à ces divers centres. On aura :

{vl^ = - rV(r) dr - £% (r) dr...

Les surfaces de niveau auront pour équation :

ff{r) dr + fç (r) dr + ... = C.

Si les forces, au lieu d'être attractives, étaient répulsives, il suffirait de changer les signes des fonctions jf(r), 9(r)...

3° La force est dirigée perpendiculairement à un plan fixe et dépend seulement de la distance z du mobile à ce plan.

On a:

Xdx + Yrfy + Zdz = d jf{z) dz.

Les surfaces de niveau sont données par récpiation :

f(z)dz = C.

Ce sont des plans parallèles au plan fixe.

4** Le mobile est soumis d une force perpendiculaire à un axe fixe, et dont l'intensité est fonction seulement de la distance du mobile à cet axe.

Prenons l'axe fixe pour axe des z; soit ffig. 133) MP = p, la force M A = f{f) ; on a :

x = -Ap)-; y = -/(p)«?; z = o,

Xdx + Yrfy + Zrf3 = — ^ {xdx + ydg).

Or:

«■+J' = P', d'où;

H donc :

X(la; + Ydj( + ZiJi = -r(p)ii?

= d^-fnf)df'j

Les surfaces de niveau seront données par l'équation :

1 fip)dp = coasl..

ou bien pa

Ce sont des cylindres de l'évolution autour de l'axe fixe.

5" Les composantes de la force parallèles aux axes ne (Upendent chacune que de la coordonnée correspondante du point ;

On a:

Xito -4- Yiin- Zii2 = li j /"/(») il! + ff (y) d j + /"t (2) <i3 K

<n ' ~''' =j[ f{x)di: + j f(]i)iy + J iii)dl.

Les surlaces de niveau auront pour équation générale :

j'fi.i) dx +j, (s) iy +jr« (z)di = C.

Da Travail.

47, Soit M un point matériel décrivant une certaine trajectoire et sollicité par plusieurs forces motrices dont la résultante P a une intensité et une direction connues. En vertu de la vitesse initiale et de la force motrice P, le point M se déplace, et au bout du temps Af il vient en M' ; projetons le point M' ^en H sur la direction de la force P;

Fiq.134 ^^^^ aurons une projection infiniment

^ H ^p petite M H, qui sera le déplacement

élémentaire du point estimé suivant la

W direction de la force. Cela posé, on

appelle travail élémentaire de la force P le produit P X MH. Ce produit doit être pris avec le signe + si la projection du déplacement a la même direction que la force, c'est à dire si l'angle M' M H est aigu; avec le signe — si elle aune direction conti-aire ou si l'angle M' M H est obtus. Soient w l'angle M' M P, ds l'arc MM' décrit par le mobile pendant le temps dt; le travail élémentaire de la force P sera représenté dans tous les cas en grandeur et en signe par :

fds cos 0).

Ce travail élémentaire sera nul si cos w = 0, c'est à dire si le déplacement est normal à la force. L'expression précédente du travail élémentaire peut encore s'écrire :

P cos (ùd8= Tds,

en nommant T la composante tangentielle de la force motrice ; on peut donc dire que le. travail élémentaire de la force P est égal au produit de l'arc ds décrit dans le temps dt par la composante tangentielle T de la force P. Nous considérerons dans cette expression ds comme positif; nous voyons alors qu'il faudra donner à la composante tangentielle T le signe + ([nand elle agira dans le sens du mouvement, et le signe -^

dans le cas contraire. On peut encore donner une autre expression simple du travail élémentaire ; on a en effet :

Xdx Y dy Zdz -

COS 0) = - — + - — + 5 ;t- »

P d« P ds ? ds

et il en résulte :

Fds cos (j) = Xdx 4- Ydy -H Zdz.

En partant de l'expression du travail élémentaire :

Vds cos tùy

on voit que : Le travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point matériel est égal à la somme des travaux de ces dernières forces. On le voit immédiatement en se rappelant que la projection sur une droite quelconque de la résultante d'un certain nombre de forces concourantes est égale à la somme algébrique des projections de ces forces sur fa même droite.

On nomme travail total d'une force P pour un chemin déterminé AB la limite de la somme des travaux élémentaires obtenus en divisant l'arc A B en un nombre infini de parties infiniment petites ; ou voit que ce travail total aura pour expression :

fvds cos 0) = / Trf« = Axrfj? 4- Xdy + Idz).

Il est évident que le travail de la résultante de plusieurs forces pour un déplacement fini est égal à la somme des travaux des composantes.

Les forces normales à la trajectoire n'influent pas sur le travail total, ou, si l'on veut, leur travail est nul.

Relation entre le trtTail et la force vive.